Przedziały

Definicja przedziału

Przedział to zbiór liczb rzeczywistych, które należą do określonego zakresu. W matematyce przedziały opisujemy za pomocą nawiasów oraz granic dolnej i górnej, określających początek i koniec przedziału.

Rodzaje przedziałów

1. Przedziały domknięte (\([a, b]\))
   Zawierają wszystkie liczby rzeczywiste \( x \), które spełniają warunek:
   \( a \leq x \leq b \).
   Granice \( a \) i \( b \) należą do przedziału.
   Przykład: \( [2, 5] = \{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x \leq 5\} \)

2. Przedziały otwarte (\((a, b)\))
   Zawierają wszystkie liczby rzeczywiste \( x \), które spełniają warunek:
   \( a < x < b \).
   Granice \( a \) i \( b \) nie należą do przedziału.
   Przykład: \( (2, 5) = \{x \in \mathbb{R} : 2 < x < 5\} \)

3. Przedziały półotwarte (półdomknięte)

   • Lewo domknięte i prawo otwarte (\([a, b)\))
     Zawierają wszystkie liczby rzeczywiste \( x \), które spełniają warunek:
     \( a \leq x < b \).
     Granica \( a \) należy do przedziału, a \( b \) nie.
     Przykład: \( [2, 5) = \{x \in \mathbb{R} : 2 \leq x < 5\} \)
   • Lewo otwarte i prawo domknięte (\((a, b]\))
     Zawierają wszystkie liczby rzeczywiste \( x \), które spełniają warunek:
     \( a < x \leq b \).
     Granica \( a \) nie należy do przedziału, a \( b \) należy.
     Przykład: \( (2, 5] = \{x \in \mathbb{R} : 2 < x \leq 5\} \)

4. Przedziały nieskończone

   • Lewostronnie nieskończone (\((-\infty, b]\) lub \((-\infty, b)\))
     Zawierają wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze lub równe (lub tylko mniejsze) od \( b \).
     Przykład: \( (-\infty, 3] = \{x \in \mathbb{R} : x \leq 3\} \)
   • Prawostronnie nieskończone (\([a, \infty)\) lub \((a, \infty)\))
     Zawierają wszystkie liczby rzeczywiste większe lub równe (lub tylko większe) od \( a \).
     Przykład: \( [4, \infty) = \{x \in \mathbb{R} : x \geq 4\} \)
   • Obustronnie nieskończone (\((-\infty, \infty)\))
     Zawierają wszystkie liczby rzeczywiste.
     Przykład: \( (-\infty, \infty) = \mathbb{R} \)

Operacje na przedziałach

1. Suma przedziałów (\( A \cup B \))
   Zawiera wszystkie liczby należące do przedziału \( A \) lub \( B \) (lub obu jednocześnie).
   Przykład:
   \( A = [1, 3], B = (2, 5] \)
   \( A \cup B = [1, 5] \)

2. Część wspólna przedziałów (\( A \cap B \))
   Zawiera wszystkie liczby należące jednocześnie do przedziału \( A \) i \( B \).
   Przykład:
   \( A = [1, 4], B = (2, 5) \)
   \( A \cap B = (2, 4] \)

3. Różnica przedziałów (\( A \setminus B \))
   Zawiera wszystkie liczby należące do \( A \), ale nie należące do \( B \).
   Przykład:
   \( A = [1, 5], B = [3, 4] \)
   \( A \setminus B = [1, 3) \cup (4, 5] \)

Reprezentacja przedziałów na osi liczbowej

Przedziały można przedstawić graficznie na osi liczbowej:

• Punkty wypełnione oznaczają, że dana granica należy do przedziału (np. \( [a, b] \)).
• Punkty puste oznaczają, że granica nie należy do przedziału (np. \( (a, b) \)).

Przykład:

• \( [2, 4) \): na osi liczbowej zaznaczony wypełniony punkt na \( 2 \) i pusty punkt na \( 4 \), z ciągłą linią między nimi.

Przykłady przedziałów w praktyce

1. Liczby rzeczywiste między \( 0 \) a \( 10 \): \( (0, 10) \)
2. Temperatura \( t \) powyżej zera: \( (0, \infty) \)
3. Wiek osób od 18 do 65 lat (włącznie): \( [18, 65] \)

Przykładowe zadania

1. Znajdź część wspólną przedziałów:
   \( A = [1, 6], B = (3, 8] \).

2. Podaj sumę przedziałów:
   \( A = (-\infty, 0), B = [0, 5) \).

3. Przedstaw graficznie na osi liczbowej przedziały \( [2, 5] \) i \( (4, 8] \), a następnie znajdź ich różnicę.