Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych odbywa się poprzez dodawanie lub odejmowanie ich części rzeczywistych i urojonych osobno. Operacje te są bardzo podobne do dodawania i odejmowania wektorów.
Dodawanie liczb zespolonych
Aby dodać dwie liczby zespolone, dodajemy osobno ich części rzeczywiste oraz części urojone. Dla dwóch liczb zespolonych \( z_1 = a + bi \) i \( z_2 = c + di \), suma tych liczb to: \[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]
Przykład 1:
Dodajmy liczby \( z_1 = 3 + 4i \) i \( z_2 = 1 + 2i \): \[ z_1 + z_2 = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i \] Wynik to \( 4 + 6i \).
Przykład 2:
Dodajmy liczby \( z_1 = -2 + 5i \) i \( z_2 = 4 - 3i \): \[ z_1 + z_2 = (-2 + 4) + (5 - 3)i = 2 + 2i \] Wynik to \( 2 + 2i \).
Odejmowanie liczb zespolonych
Odejmowanie liczb zespolonych również odbywa się poprzez odejmowanie osobno ich części rzeczywistych i urojonych. Dla dwóch liczb zespolonych \( z_1 = a + bi \) i \( z_2 = c + di \), różnica tych liczb to: \[ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i \]
Przykład 1:
Odejmijmy liczby \( z_1 = 5 + 3i \) i \( z_2 = 2 + i \): \[ z_1 - z_2 = (5 - 2) + (3 - 1)i = 3 + 2i \] Wynik to \( 3 + 2i \).
Przykład 2:
Odejmijmy liczby \( z_1 = -1 + 4i \) i \( z_2 = 3 - 2i \): \[ z_1 - z_2 = (-1 - 3) + (4 - (-2))i = -4 + 6i \] Wynik to \( -4 + 6i \).
Geometryczna interpretacja dodawania i odejmowania liczb zespolonych
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych można zobrazować geometrycznie na płaszczyźnie zespolonej. Liczby zespolone są reprezentowane jako punkty lub wektory na płaszczyźnie, gdzie oś pozioma reprezentuje część rzeczywistą, a oś pionowa część urojoną.
Dodawanie
Dodawanie dwóch liczb zespolonych można interpretować jako dodawanie dwóch wektorów. Suma dwóch liczb zespolonych to wektor wynikowy, który jest po prostu sumą wektorów reprezentujących te liczby.
Odejmowanie
Odejmowanie liczb zespolonych również można interpretować wektorowo. Wektor wynikowy to różnica wektorów reprezentujących liczby zespolone, czyli wektor od liczby \( z_2 \) do liczby \( z_1 \).
Podsumowanie
Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych to podstawowe operacje, które polegają na osobnym dodawaniu i odejmowaniu części rzeczywistych i urojonych. Te operacje mają proste reguły algebraiczne, które są bardzo intuicyjne w interpretacji geometrycznej na płaszczyźnie zespolonej.