Postać kanoniczna

Definicja funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa to funkcja o postaci:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

gdzie:

• \( a \), \( b \), \( c \) są stałymi liczbami rzeczywistymi,
• \( a \neq 0 \), aby funkcja była kwadratowa.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to przekształcenie jej do formy:

\[ f(x) = a(x - p)^2 + q \]

gdzie:

• \( a \) to współczynnik kierunkowy funkcji kwadratowej (taki sam jak w pierwotnej postaci),
• \( p \) to współrzędna \( x \) wierzchołka paraboli,
• \( q \) to współrzędna \( y \) wierzchołka paraboli.

1. Wierzchołek paraboli

Współrzędne wierzchołka paraboli w postaci ogólnej \( f(x) = ax^2 + bx + c \) można obliczyć za pomocą wzorów:

\[ p = -\frac{b}{2a} \] \[ q = -\frac{\Delta}{4a} \] gdzie \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Oraz także można obliczyć podstawiając \(x=p\) do wzoru ogólnego: \[ q = f(p) = a p^2 + b p + c = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c \]

Znając współrzędne \( p \) i \( q \), można zapisać funkcję kwadratową w postaci kanonicznej.

2. Związek między postaciami funkcji

Postać kanoniczna pozwala na łatwe odczytanie wierzchołka paraboli, co jest istotne przy analizie geometrycznej wykresu funkcji kwadratowej. W przeciwieństwie do postaci ogólnej, w której trudno bezpośrednio zobaczyć położenie wierzchołka, postać kanoniczna jasno wskazuje punkt \( (p, q) \), który stanowi wierzchołek paraboli.

3. Przykład

Rozważmy funkcję kwadratową:

\[ f(x) = 2x^2 + 4x + 1 \]

Aby przekształcić ją do postaci kanonicznej, najpierw obliczamy \( p \):

\[ p = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1 \]

Teraz obliczamy \( q \), czyli wartość funkcji dla \( x = -1 \):

\[ q = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1 \]

Zatem postać kanoniczna tej funkcji to:

\[ f(x) = 2(x + 1)^2 - 1 \]

4. Własności funkcji w postaci kanonicznej

• Wierzchołek: Funkcja osiąga swoje ekstremum w punkcie \( (p, q) \). Jeżeli \( a > 0 \), parabola ma minimum, a jeżeli \( a < 0 \), parabola ma maksimum.
• Symetria: Oś symetrii funkcji kwadratowej to prosta \( x = p \), która przechodzi przez wierzchołek paraboli.
• Ekstremum: Wartość \( q \) to wartość funkcji w punkcie ekstremum (wierzchołku).

5. Zastosowanie postaci kanonicznej

Postać kanoniczna jest przydatna w analizie funkcji kwadratowych, ponieważ ułatwia:

• Wyznaczanie wierzchołka paraboli.
• Badanie kierunku, w którym otwiera się parabola.
• Określanie ekstremów funkcji.