Macierze jednostkowe

Definicja macierzy jednostkowej

Macierz jednostkowa (lub macierz jednostkowa) jest specjalnym rodzajem macierzy kwadratowej, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy są równe 0. Macierz jednostkowa jest oznaczana jako \(\mathbf{I}_n\), gdzie \(n\) oznacza rozmiar macierzy (liczbę wierszy i kolumn).

Notacja macierzy jednostkowej

Macierz jednostkowa rzędu \(n\) ma postać:

\[ \mathbf{I}_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \]

Gdzie elementy na głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy są równe 0.

Właściwości macierzy jednostkowej

1. Elementy na głównej przekątnej: Wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1.

2. Elementy poza główną przekątną: Wszystkie elementy poza główną przekątną są równe 0.

3. Mnożenie przez macierz jednostkową: Mnożenie macierzy jednostkowej przez dowolną macierz \(\mathbf{A}\) (o odpowiednich wymiarach) nie zmienia tej macierzy. To znaczy, jeśli \(\mathbf{I}_n\) jest macierzą jednostkową rzędu \(n\), to:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{I}_n = \mathbf{A} \quad \text{i} \quad \mathbf{I}_n \cdot \mathbf{A} = \mathbf{A} \]

4. Macierz odwrotna: Macierz jednostkowa jest macierzą odwrotną do samej siebie. To znaczy:

\[ \mathbf{I}_n^{-1} = \mathbf{I}_n \]

5. Wyznacznik: Wyznacznik macierzy jednostkowej rzędu \(n\) jest równy 1.

Przykład

Macierz jednostkowa rzędu 3 to:

\[ \mathbf{I}_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Mnożąc tę macierz przez dowolną macierz \(3 \times 3\), otrzymamy tę samą macierz:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{I}_3 = \mathbf{A} \]

Macierz jednostkowa jest zatem istotnym narzędziem w algebrze liniowej, szczególnie w kontekście rozwiązywania układów równań, macierzy odwrotnych oraz transformacji liniowych.