Wyrażenia wymierne i funkcje wymierne

Wyrażenia wymierne

Wyrażenie wymierne to wyrażenie, które można zapisać jako iloraz dwóch wielomianów. Ogólna postać wyrażenia wymiernego to:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \]

gdzie:

• \( P(x) \) i \( Q(x) \) są wielomianami,
• \( Q(x) \neq 0 \), aby uniknąć dzielenia przez zero.

Przykład wyrażenia wymiernego

Rozważmy wyrażenie wymierne:

\[ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 1} \]

gdzie:

• \( P(x) = 2x^2 - 3x + 1 \) jest wielomianem licznika,
• \( Q(x) = x^2 - 1 \) jest wielomianem mianownika.

Funkcje wymierne

Funkcja wymierna to funkcja, której wzór jest wyrażony jako iloraz dwóch wielomianów. Funkcja wymierna ma postać:

\[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \]

gdzie \( P(x) \) i \( Q(x) \) są wielomianami, a \( Q(x) \neq 0 \).

Własności funkcji wymiernej

• Dziedzina: Dziedziną funkcji wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem tych, które zerują mianownik \( Q(x) \). Musimy znaleźć wartości \( x \), dla których \( Q(x) = 0 \), aby określić, jakie wartości są wykluczone z dziedziny.

• Asymptoty:

  • Asymptota pionowa: Występuje w punktach, gdzie mianownik \( Q(x) \) jest równy zero, o ile licznik \( P(x) \) nie jest również równy zero w tych punktach.
  • Asymptota pozioma: Jest to linia pozioma, do której funkcja zbliża się, gdy \( x \) zmierza do nieskończoności. Można ją znaleźć, porównując stopień wielomianu licznika i mianownika.
  • Asymptota ukośna: Występuje, gdy stopień wielomianu licznika jest o jeden większy niż stopień wielomianu mianownika. Można ją znaleźć, dzieląc wielomian licznika przez mianownik.

• Miejsca zerowe: Miejsca zerowe funkcji wymiernej są wartościami \( x \), dla których licznik \( P(x) \) jest równy zero.

Przykład funkcji wymiernej

Rozważmy funkcję wymierną:

\[ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \]

1. Dziedzina: Mianownik \( x - 2 \) jest równy zero, gdy \( x = 2 \). Dlatego dziedzina funkcji to wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem \( x = 2 \).

2. Asymptoty:

   • Asymptota pionowa: Występuje w \( x = 2 \).
   • Asymptota pozioma: Aby znaleźć asymptotę poziomą, porównujemy stopień licznika i mianownika. W tym przypadku stopień licznika (2) jest o jeden większy niż stopień mianownika (1), więc funkcja ma asymptotę ukośną.

3. Miejsca zerowe: Miejsca zerowe funkcji to wartości \( x \), dla których licznik jest równy zero. W tym przypadku:

   \[ x^2 - 4 = 0 \\ (x - 2)(x + 2) = 0 \]

   Miejsca zerowe to \( x = 2 \) i \( x = -2 \). Jednak \( x = 2 \) jest również asymptotą pionową, więc funkcja nie ma miejsca zerowego w tym punkcie.

Zastosowanie funkcji wymiernych

Funkcje wymierne są używane w matematyce i naukach ścisłych do modelowania wielu rzeczywistych zjawisk, takich jak przepływy w fizyce, ekonomiczne modele cenowe i inne procesy, które mogą być opisane jako stosunek dwóch wielkości zmiennych.