Systemy liczbowe

Systemy liczbowe to sposoby reprezentacji liczb przy użyciu określonego zbioru cyfr i podstawy (baz). Różne systemy liczbowe są używane w zależności od kontekstu, a najpopularniejsze z nich to system dziesiętny, binarny, ósemkowy i szesnastkowy.

System dziesiętny (system o podstawie 10)

Najczęściej używany system liczbowy, w którym do reprezentowania liczb używa się dziesięciu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Każda pozycja w liczbie dziesiętnej ma wagę będącą potęgą liczby 10.

Przykład: \[ 345_{10} = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0 = 300 + 40 + 5 \]

System binarny (system o podstawie 2)

System binarny jest używany w informatyce i elektronice. Wykorzystuje tylko dwie cyfry: 0 i 1. Każda pozycja w liczbie binarnej ma wagę będącą potęgą liczby 2.

Przykład: \[ 1011_2 = 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 2 + 1 = 11_{10} \]

System ósemkowy (system o podstawie 8)

System ósemkowy używa ośmiu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Każda pozycja w liczbie ósemkowej ma wagę będącą potęgą liczby 8.

Przykład: \[ 754_8 = 7 \times 8^2 + 5 \times 8^1 + 4 \times 8^0 = 448 + 40 + 4 = 492_{10} \]

System szesnastkowy (system o podstawie 16)

System szesnastkowy używa szesnastu symboli: 0-9 oraz A-F, gdzie A oznacza 10, B oznacza 11, C oznacza 12, D oznacza 13, E oznacza 14, a F oznacza 15. Każda pozycja w liczbie szesnastkowej ma wagę będącą potęgą liczby 16.

Przykład: \[ 1A3_{16} = 1 \times 16^2 + A \times 16^1 + 3 \times 16^0 = 1 \times 256 + 10 \times 16 + 3 = 256 + 160 + 3 = 419_{10} \]

Konwersje między systemami liczbowymi

Z systemu binarnego do dziesiętnego

Aby przekonwertować liczbę binarną na dziesiętną, sumujemy wartości potęg liczby 2 dla pozycji, w których występuje 1.

Przykład: \[ 1101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10} \]

Z systemu dziesiętnego do binarnego

Aby przekonwertować liczbę dziesiętną na binarną, dzielimy liczbę przez 2, zapisując reszty z dzielenia aż do uzyskania wyniku 0.

Przykład dla liczby 13:

\( 13 \div 2 = 6 \) (reszta 1)
\( 6 \div 2 = 3 \) (reszta 0)
\( 3 \div 2 = 1 \) (reszta 1)
\( 1 \div 2 = 0 \) (reszta 1)

Ostateczny wynik: \( 13_{10} = 1101_2 \)

Zastosowania systemów liczbowych

System dziesiętny jest najpowszechniejszy w codziennym życiu, używany do liczenia i rachunków.
System binarny jest kluczowy w informatyce i elektronice, gdzie dane są reprezentowane jako sekwencje zer i jedynek.
System szesnastkowy jest często stosowany w programowaniu, zwłaszcza w pracy z pamięcią komputerową.
System ósemkowy był kiedyś używany w informatyce, jednak obecnie jest mniej popularny.

Systemy liczbowe stanowią podstawę wielu zastosowań matematyki i informatyki, a ich zrozumienie jest kluczowe do pracy z komputerami i algorytmami.