Mnożenie wielomianów

Mnożenie dwóch wielomianów

Mnożenie wielomianów polega na zastosowaniu reguły mnożenia wyrazów w jednym wielomianie przez każdy wyraz w drugim wielomianie, a następnie zsumowaniu wszystkich wyników. Proces ten można przeprowadzić w kilku krokach:

  1. Rozwiń: Pomnóż każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu.
  2. Zsumuj: Zsumuj wszystkie uzyskane wyrazy i połącz podobne wyrazy.

Przykład

Rozważmy mnożenie dwóch wielomianów:

\[ P(x) = (2x + 3) \] \[ Q(x) = (x^2 - x + 4) \]

  1. Rozwiń:

    Mnożymy każdy wyraz \(2x\) i \(3\) z \(Q(x)\):

    \[ 2x \cdot (x^2 - x + 4) = 2x \cdot x^2 - 2x \cdot x + 2x \cdot 4 \] \[ = 2x^3 - 2x^2 + 8x \]

    \[ 3 \cdot (x^2 - x + 4) = 3 \cdot x^2 - 3 \cdot x + 3 \cdot 4 \] \[ = 3x^2 - 3x + 12 \]

  2. Zsumuj:

    \[ P(x) \cdot Q(x) = (2x^3 - 2x^2 + 8x) + (3x^2 - 3x + 12) \] \[ = 2x^3 + (-2x^2 + 3x^2) + (8x - 3x) + 12 \] \[ = 2x^3 + x^2 + 5x + 12 \]

Mnożenie przez wielomian jednostkowy

Mnożenie wielomianu przez wielomian jednostkowy (np. \(x\), \(x + 1\)) jest prostsze i polega na przesunięciu wszystkich potęg zmiennej \(x\) o odpowiednią ilość miejsc.

Przykład

Rozważmy mnożenie wielomianu przez \(x\):

\[ P(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 \] \[ Q(x) = x \]

  1. Rozwiń:

    \[ P(x) \cdot Q(x) = (x^3 - 2x^2 + 3x - 4) \cdot x \] \[ = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 4x \]

Właściwości

  1. Komutatywność: Mnożenie wielomianów jest przemienne, czyli kolejność mnożenia nie wpływa na wynik:

    \[ P(x) \cdot Q(x) = Q(x) \cdot P(x) \]

  2. Asocjacyjność: Mnożenie wielomianów jest łączne, co oznacza, że grupowanie wyrazów nie zmienia wyniku:

    \[ (P(x) \cdot Q(x)) \cdot R(x) = P(x) \cdot (Q(x) \cdot R(x)) \]

  3. Rozdzielność: Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, czyli:

    \[ P(x) \cdot (Q(x) + R(x)) = P(x) \cdot Q(x) + P(x) \cdot R(x) \]

Zastosowanie

Mnożenie wielomianów jest powszechnie stosowane w algebrze do rozwiązywania równań, faktoryzacji, oraz w różnych dziedzinach matematyki stosowanej, takich jak analiza numeryczna, optymalizacja i modelowanie matematyczne.