Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów jest kluczowym narzędziem w geometrii trygonometrycznej, używanym do obliczania długości boków i kątów w dowolnym trójkącie. Jest szczególnie przydatne, gdy mamy dane dwie długości boków i kąt między nimi, lub gdy potrzebujemy znaleźć kąt w trójkącie.

Definicja

Twierdzenie cosinusów rozszerza klasyczne twierdzenie Pitagorasa na przypadki trójkątów, które nie są prostokątne. Stwierdza, że dla dowolnego trójkąta \( \triangle ABC \) z bokami \( a \), \( b \), i \( c \), oraz kątami \( \alpha \), \( \beta \), i \( \gamma \), zachodzi:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} \]

Podobnie, dla innych boków i kątów w trójkącie, wzory są:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos{\alpha} \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos{\beta} \]

Wzory ogólne

Twierdzenie cosinusów można zapisać w bardziej ogólnej formie dla każdego z boków trójkąta:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} \] \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos{\alpha} \] \[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos{\beta} \]

Gdzie:

• \( a \), \( b \), \( c \) to długości boków trójkąta,
• \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) to kąty naprzeciwko tych boków,
• \( \cos{\alpha} \), \( \cos{\beta} \), \( \cos{\gamma} \) to funkcje kosinusowe dla odpowiednich kątów.

Przykłady

1. Przykład 1:

   Rozważmy trójkąt, w którym znamy długości dwóch boków \( a = 5 \), \( b = 7 \) oraz kąt między nimi \( \gamma = 60^\circ \). Aby znaleźć długość trzeciego boku \( c \), używamy wzoru:

   \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} \]

   Obliczamy kosinus kąta:

   \[ \cos 60^\circ = 0.5 \]

   Podstawiamy wartości:

   \[ c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 0.5 \] \[ c^2 = 25 + 49 - 35 \] \[ c^2 = 39 \] \[ c = \sqrt{39} \approx 6.24 \]

2. Przykład 2:

   W trójkącie, gdzie znamy długości boków \( a = 8 \), \( b = 6 \), i \( c = 10 \), chcemy znaleźć kąt \( \gamma \) naprzeciwko boku \( c \). Używamy wzoru:

   \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} \]

   Podstawiamy wartości:

   \[ 10^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos{\gamma} \] \[ 100 = 64 + 36 - 96 \cdot \cos{\gamma} \] \[ 100 = 100 - 96 \cdot \cos{\gamma} \] \[ 96 \cdot \cos{\gamma} = 0 \] \[ \cos{\gamma} = 0 \]

   Skoro \( \cos{\gamma} = 0 \), oznacza to, że \( \gamma = 90^\circ \), więc trójkąt jest prostokątny.

Zastosowania

• Rozwiązywanie trójkątów: Obliczanie brakujących długości boków i kątów.
• Nauki przyrodnicze: Analizowanie układów, gdzie kąty i długości są kluczowe.
• Inżynieria i architektura: Obliczanie geometrii konstrukcji.

Twierdzenie cosinusów jest uniwersalnym narzędziem w matematyce i naukach inżynieryjnych, które pozwala na rozwiązanie wielu problemów związanych z trójkątami.