Długość wektora

Definicja długości wektora

Długość wektora, znana również jako norma wektora, to miara odległości między początkiem a końcem wektora w przestrzeni. Długość wektora \(\vec{v}\) można traktować jako długość strzałki reprezentującej ten wektor. Jest to podstawowa właściwość wektora i jest kluczowa w wielu dziedzinach matematyki i nauk stosowanych.

Obliczanie długości wektora

Długość wektora w przestrzeni n-wymiarowej jest obliczana za pomocą wzoru opierającego się na współrzędnych wektora.

Długość wektora w przestrzeni 2D

Dla wektora \(\vec{v} = (x, y)\) w przestrzeni dwuwymiarowej długość wektora jest obliczana za pomocą wzoru:

\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

gdzie \(\|\vec{v}\|\) oznacza długość (normę) wektora \(\vec{v}\), a \(\sqrt{\cdot}\) oznacza pierwiastek kwadratowy.

Długość wektora w przestrzeni 3D

Dla wektora \(\vec{v} = (x, y, z)\) w przestrzeni trójwymiarowej długość wektora jest obliczana jako:

\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

gdzie \(\|\vec{v}\|\) to długość wektora \(\vec{v}\).

Długość wektora w przestrzeni n-wymiarowej

Dla wektora \(\vec{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n)\) w przestrzeni n-wymiarowej długość wektora oblicza się jako:

\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2} \]

gdzie \(\|\vec{v}\|\) to długość wektora \(\vec{v}\).

Przykład obliczania długości wektora

Załóżmy, że mamy wektor \(\vec{v} = (3, 4)\) w przestrzeni 2D. Aby znaleźć jego długość, obliczamy:

\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Dla wektora \(\vec{v} = (1, 2, 2)\) w przestrzeni 3D długość obliczamy jako:

\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Zastosowanie długości wektora

Długość wektora jest istotna w wielu dziedzinach matematyki, fizyki i inżynierii. Używana jest do obliczania odległości, normowania wektorów, a także w analizie przestrzennej w grafice komputerowej, robotyce czy w naukach przyrodniczych.