Metoda eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji Gaussa jest jedną z podstawowych technik algebraicznych służących do rozwiązywania układów równań liniowych. Metoda ta polega na przekształceniu układu równań do postaci schodkowej (górnotrójkątnej) za pomocą operacji elementarnych na wierszach, co umożliwia łatwe rozwiązanie układu poprzez podstawianie wsteczne.

Rozważmy układ równań liniowych:

\[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 - 2x_3 = -6 \\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 2 \\ -x_1 + 7x_2 + x_3 = 8 \end{cases} \]

Krok 1: Zapisz układ w postaci macierzowej

Najpierw zapiszmy układ równań w postaci macierzowej:

\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 7 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Macierz współczynników jest:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 7 & 1 \end{pmatrix} \]

Macierz wyrazów wolnych to:

\[ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Naszym celem jest przekształcenie macierzy \( A \) do postaci schodkowej.

Krok 2: Eliminacja Gaussa

Etap 1: Wyzerowanie pierwszej kolumny poniżej elementu \( A_{11} \)

Chcemy wyeliminować elementy w pierwszej kolumnie pod \( A_{11} \), czyli \( 2 \) w \( A_{21} \) i \( -1 \) w \( A_{31} \).

• Aby wyeliminować \( A_{21} = 2 \), od drugiego wiersza odejmujemy \( 2 \) razy pierwszy wiersz:

  \[ R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \]

  \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & -6 \\ 0 & 5 & 3 & | & 14 \\ -1 & 7 & 1 & | & 8 \end{pmatrix} \]

• Aby wyeliminować \( A_{31} = -1 \), do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy wiersz:

  \[ R_3 \leftarrow R_3 + R_1 \]

  \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & -6 \\ 0 & 5 & 3 & | & 14 \\ 0 & 5 & -1 & | & 2 \end{pmatrix} \]

Etap 2: Wyzerowanie drugiej kolumny poniżej \( A_{22} \)

Teraz chcemy wyeliminować element w drugiej kolumnie pod \( A_{22} = 5 \), czyli \( A_{32} = 5 \).

• Aby wyeliminować \( A_{32} = 5 \), odejmujemy od trzeciego wiersza drugi wiersz:

  \[ R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \]

  \[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & -6 \\ 0 & 5 & 3 & | & 14 \\ 0 & 0 & -4 & | & -12 \end{pmatrix} \]

Teraz macierz jest w postaci schodkowej.

Krok 3: Podstawianie wsteczne

Mamy teraz układ równań w postaci schodkowej:

\[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 - 2x_3 = -6 \\ 5x_2 + 3x_3 = 14 \\ -4x_3 = -12 \end{cases} \]

Z trzeciego równania możemy obliczyć \( x_3 \):

\[ -4x_3 = -12 \\ x_3 = 3 \]

Podstawiamy \( x_3 = 3 \) do drugiego równania, aby obliczyć \( x_2 \):

\[ 5x_2 + 3 \cdot 3 = 14 \\ 5x_2 + 9 = 14 \\ 5x_2 = 5 \\ x_2 = 1 \]

Podstawiamy \( x_2 = 1 \) i \( x_3 = 3 \) do pierwszego równania, aby obliczyć \( x_1 \):

\[ x_1 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = -6 \\ x_1 - 2 - 6 = -6 \\ x_1 - 8 = -6 \\ x_1 = 2 \]

Krok 4: Rozwiązanie

Ostateczne rozwiązanie układu to:

\[ x_1 = 2, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 3 \]

Układ równań ma jedno rozwiązanie: \( (2, 1, 3) \).