Całki cykliczne

Całki cykliczne to metoda, która pojawia się w sytuacji, gdy podczas całkowania przez części, proces prowadzi nas z powrotem do wyrażenia początkowego, co umożliwia wyznaczenie wartości całki poprzez porównanie wyjściowego równania z uzyskanym wynikiem.

Przykład całki cyklicznej

Rozważmy następującą całkę:

\[ I = \int e^x \sin(x) \, dx \]

Krok 1: całkowanie przez części

Wybierzmy:

• \( u = \sin(x) \), zatem \( du = \cos(x) \, dx \)
• \( dv = e^x \, dx \), zatem \( v = e^x \)

Stosując wzór na całkowanie przez części:

\[ I = e^x \sin(x) - \int e^x \cos(x) \, dx \]

Oznaczmy drugą całkę jako \( I_1 \):

\[ I_1 = \int e^x \cos(x) \, dx \]

Krok 2: całkowanie przez części dla \( i_1 \)

Wybierzmy teraz:

• \( u = \cos(x) \), zatem \( du = -\sin(x) \, dx \)
• \( dv = e^x \, dx \), zatem \( v = e^x \)

Stosując ponownie wzór na całkowanie przez części, otrzymujemy:

\[ I_1 = e^x \cos(x) + \int e^x \sin(x) \, dx \]

Krok 3: zauważenie cykliczności

Otrzymana całka to ta sama, którą oznaczyliśmy na początku jako \( I \):

\[ I_1 = e^x \cos(x) + I \]

Teraz możemy wyrazić \( I_1 \) jako:

\[ I = e^x \sin(x) - (e^x \cos(x) + I) \]

\[ I = e^x \sin(x) - e^x \cos(x) - I \]

Krok 4: rozwiązanie równania

Dodajemy \( I \) po obu stronach równania:

\[ 2I = e^x (\sin(x) - \cos(x)) \]

Dzielimy przez 2, aby otrzymać ostateczny wynik:

\[ I = \frac{e^x (\sin(x) - \cos(x))}{2} + C \]

Zastosowanie całek cyklicznych

Całki cykliczne są szczególnie użyteczne przy funkcjach trygonometrycznych, takich jak \( \sin(x) \) i \( \cos(x) \), które w połączeniu z funkcjami wykładniczymi prowadzą do wyrażeń, które "cyklicznie" się powtarzają. Dzięki temu można łatwo obliczyć wartości całek, które w inny sposób byłyby trudne do rozwiązania.