Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów
W trygonometrii ważne jest rozumienie wartości funkcji trygonometrycznych dla szczególnych kątów. Poniżej przedstawiona jest tabela wartości funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens dla kątów: \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\), \(120^\circ\), \(135^\circ\), \(150^\circ\), \(180^\circ\).
Definicje funkcji trygonometrycznych
- Sinus: Wartość sinusa danego kąta to \(y\)-owa współrzędna jednostkowego wektora skierowanego pod tym kątem w układzie współrzędnych.
- Cosinus: Wartość cosinusa danego kąta to \(x\)-owa współrzędna jednostkowego wektora skierowanego pod tym kątem w układzie współrzędnych.
- Tangens: Wartość tangensa to iloraz sinusa i cosinusa danego kąta, o ile cosinus nie jest równy zero.
- Cotangens: Wartość cotangensa to iloraz cosinusa i sinusa danego kąta, o ile sinus nie jest równy zero.
Wartości funkcji trygonometrycznych
| Kąt | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(120^\circ\) | \(135^\circ\) | \(150^\circ\) | \(180^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 |
| cos | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | -1 |
| tan | 0 | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | - | \(-\sqrt{3}\) | -1 | \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) | 0 |
| cot | - | \(\sqrt{3}\) | 1 | \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) | 0 | \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) | -1 | \(-\sqrt{3}\) | - |
Zastosowania w układzie współrzędnych
Wartości funkcji trygonometrycznych można również zinterpretować geometrycznie, jako współrzędne punktów na okręgu jednostkowym w układzie współrzędnych. Punkt na okręgu jednostkowym o kącie \(\theta\) ma współrzędne \((\cos \theta, \sin \theta)\), co pomaga w zrozumieniu wartości tych funkcji dla dowolnych kątów, w tym także dla kątów większych niż \(90^\circ\).