Funkcja cotangens

Funkcja cotangens jest jedną z podstawowych funkcji trygonometrycznych, będąc odwrotnością funkcji tangens. Opisuje ona stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta do długości przeciwprostokątnej naprzeciwko kąta w trójkącie prostokątnym.

Definicja

Funkcja cotangens przyjmuje kąt $\theta$ jako argument i jest definiowana jako odwrotność funkcji tangens:

$$ \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $$

Cotangens kąta to stosunek długości przyprostokątnej przylegającej do kąta do długości przeciwprostokątnej naprzeciwko tego kąta.

Własności funkcji cotangens

Dziedzina: Funkcja cotangens nie jest określona dla kątów, dla których $\sin(\theta) = 0$, co dzieje się dla $\theta = k\pi$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Cotangens jest więc określony dla $x \in \mathbb{R} \setminus \{ k\pi \}$.
Zbiór wartości: Funkcja cotangens przyjmuje dowolną wartość rzeczywistą, czyli $ \cot(x) \in (-\infty, \infty) $.
Okresowość: Funkcja cotangens jest okresowa z okresem $\pi$, co oznacza, że $ \cot(x + \pi) = \cot(x) $ dla dowolnego $x$.
Symetria: Funkcja cotangens jest funkcją nieparzystą, co oznacza, że $ \cot(-x) = -\cot(x) $.

Wartości funkcji cotangens dla wybranych kątów

$\cot(30^\circ) = \sqrt{3}$
$\cot(45^\circ) = 1$
$\cot(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Funkcja cotangens jest niezdefiniowana dla kątów $\theta = 0^\circ$ oraz wszystkich wartości kąta będących wielokrotnościami $\pi$.

Wykres funkcji cotangens

Wykres funkcji cotangens przypomina wykres funkcji tangens, ale jest "lustrzanym odbiciem" względem osi pionowej. Funkcja cotangens również posiada asymptoty, przy których dąży do nieskończoności, i ma okres $\pi$. Wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Zastosowanie funkcji cotangens

Funkcja cotangens, podobnie jak inne funkcje trygonometryczne, znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki:

Geometria: Używana do obliczeń w trójkątach, w szczególności w kontekście rozwiązywania trójkątów prostokątnych.
Fizyka: Opisuje zjawiska falowe, ruchy oscylacyjne oraz wiele innych zjawisk, w których występują zależności trygonometryczne.
Inżynieria: Stosowana w analizie sygnałów, przetwarzaniu dźwięku oraz w teorii obwodów.

Wzór na cotangens sumy kątów

Istnieje wzór, który pozwala na obliczenie cotangensa sumy dwóch kątów $\alpha$ i $\beta$:

$$ \cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot(\alpha)\cot(\beta) - 1}{\cot(\alpha) + \cot(\beta)} $$

Wzór na cotangens połowy kąta

Funkcję cotangens można również wyrazić dla połowy kąta $\theta$:

$$ \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin(\theta)}{1 - \cos(\theta)} $$

Funkcja cotangens, podobnie jak inne funkcje trygonometryczne, jest niezwykle użyteczna w opisie różnych zjawisk fizycznych i matematycznych, szczególnie tych związanych z kątem nachylenia i zmianami w układach dynamicznych.