Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych

Mnożenie wyrażeń wymiernych

Aby pomnożyć dwa wyrażenia wymierne, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki osobno. Ogólna zasada jest następująca:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot R(x)}{Q(x) \cdot S(x)} \]

gdzie:

• \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) i \( \frac{R(x)}{S(x)} \) są wyrażeniami wymiernymi,
• \( P(x) \) i \( R(x) \) są licznikami,
• \( Q(x) \) i \( S(x) \) są mianownikami.

Przykład mnożenia

Rozważmy wyrażenia wymierne:

\[ \frac{2x}{x + 1} \quad \text{i} \quad \frac{x - 3}{2x} \]

Ich iloczyn to:

\[ \frac{2x}{x + 1} \cdot \frac{x - 3}{2x} = \frac{2x \cdot (x - 3)}{(x + 1) \cdot 2x} \]

Uproszczenie:

\[ \frac{2x \cdot (x - 3)}{2x \cdot (x + 1)} = \frac{x - 3}{x + 1} \]

Dzielenie wyrażeń wymiernych

Aby podzielić jedno wyrażenie wymierne przez drugie, należy pomnożyć pierwsze wyrażenie przez odwrotność drugiego. Ogólna zasada jest następująca:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \div \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x)}{Q(x)} \cdot \frac{S(x)}{R(x)} = \frac{P(x) \cdot S(x)}{Q(x) \cdot R(x)} \]

gdzie:

• \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) jest dzielnikiem,
• \( \frac{R(x)}{S(x)} \) jest dzielną,
• \( S(x) \) i \( R(x) \) są odwrotnością dzielnika.

Przykład dzielenia

Rozważmy wyrażenia wymierne:

\[ \frac{3x^2}{x - 2} \quad \text{i} \quad \frac{x + 4}{x^2} \]

Ich iloraz to:

\[ \frac{3x^2}{x - 2} \div \frac{x + 4}{x^2} = \frac{3x^2}{x - 2} \cdot \frac{x^2}{x + 4} = \frac{3x^2 \cdot x^2}{(x - 2) \cdot (x + 4)} \]

Uproszczenie:

\[ \frac{3x^4}{(x - 2) \cdot (x + 4)} \]

Własności mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych

• Przemienność: Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych są przemienne. Oznacza to, że kolejność mnożenia lub dzielenia nie wpływa na wynik.

• Łączność: Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych są łączne, co oznacza, że grupowanie wyrażeń nie wpływa na wynik operacji.

• Współczynniki: Przed wykonaniem operacji warto uprościć wyrażenia wymierne, np. przez skracanie wspólnych czynników.

Zastosowanie

Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych są istotne w rozwiązywaniu równań wymiernych, upraszczaniu wyrażeń oraz w analizie funkcji wymiernych. Umiejętność manipulowania tymi wyrażeniami jest niezbędna w matematyce i naukach ścisłych, gdzie często występują różne stosunki i proporcje.