Forma wykładnicza liczby zespolonej

Forma wykładnicza liczby zespolonej jest kolejnym, często wygodniejszym sposobem przedstawienia liczb zespolonych, zwłaszcza w kontekście operacji takich jak mnożenie, dzielenie czy podnoszenie do potęgi. Wynika ona bezpośrednio z tożsamości Eulera, która łączy liczby zespolone z funkcjami trygonometrycznymi.

Tożsamość Eulera

Tożsamość Eulera to kluczowe równanie, które pozwala przedstawić liczbę zespoloną w postaci wykładniczej: \[ e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta \] Dzięki tej tożsamości każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci wykładniczej.

Forma wykładnicza liczby zespolonej

Każdą liczbę zespoloną \( z = a + bi \) można przedstawić w formie wykładniczej, korzystając z modułu \( |z| \) oraz argumentu \( \theta \), zgodnie z równaniem: \[ z = r e^{i\theta} \] gdzie:

Forma wykładnicza \( z = r e^{i \theta} \) jest szczególnie użyteczna w przypadku operacji na liczbach zespolonych, takich jak mnożenie, dzielenie czy podnoszenie do potęgi.

Przykład 1:

Rozważmy liczbę zespoloną \( z = 1 + i \). Aby zapisać ją w formie wykładniczej:

  1. Obliczamy moduł \( r \): \[ r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]
  2. Obliczamy argument \( \theta \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} \, \text{radianów} \, \text{(czyli 45°)} \]
  3. Zatem liczba \( z = 1 + i \) w formie wykładniczej to: \[ z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \]

Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w formie wykładniczej

Mnożenie:

Mnożenie liczb zespolonych w formie wykładniczej jest bardzo proste. Aby pomnożyć dwie liczby zespolone \( z_1 = r_1 e^{i \theta_1} \) oraz \( z_2 = r_2 e^{i \theta_2} \), wystarczy pomnożyć ich moduły i dodać argumenty: \[ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)} \]

Przykład 2:

Pomnóżmy liczby zespolone \( z_1 = 2e^{i \frac{\pi}{6}} \) oraz \( z_2 = 3e^{i \frac{\pi}{4}} \): \[ z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 e^{i \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \right)} = 6e^{i \frac{5\pi}{12}} \] Wynik to \( 6e^{i \frac{5\pi}{12}} \).

Dzielenie:

Dzielenie w formie wykładniczej również jest proste. Aby podzielić dwie liczby zespolone \( z_1 = r_1 e^{i \theta_1} \) przez \( z_2 = r_2 e^{i \theta_2} \), wystarczy podzielić moduły i odjąć argumenty: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1 - \theta_2)} \]

Przykład 3:

Podzielmy liczby \( z_1 = 6e^{i \frac{\pi}{3}} \) oraz \( z_2 = 2e^{i \frac{\pi}{6}} \): \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{6}{2} e^{i \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right)} = 3e^{i \frac{\pi}{6}} \] Wynik to \( 3e^{i \frac{\pi}{6}} \).

Podnoszenie liczby zespolonej do potęgi

Aby podnieść liczbę zespoloną do potęgi \( n \), korzystamy z wzoru: \[ z^n = \left( r e^{i \theta} \right)^n = r^n e^{i n \theta} \]

Przykład 4:

Podnieśmy liczbę \( z = 2e^{i \frac{\pi}{3}} \) do potęgi 3: \[ z^3 = 2^3 e^{i 3 \cdot \frac{\pi}{3}} = 8e^{i \pi} \] Wynik to \( 8e^{i \pi} \), co jest równoważne liczbie \( -8 \), ponieważ \( e^{i \pi} = -1 \).

Pierwiastkowanie liczb zespolonych w formie wykładniczej

Aby obliczyć pierwiastki \( n \)-tego stopnia z liczby zespolonej, korzystamy z wzoru: \[ z_k = r^{1/n} e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n}} \quad \text{dla} \quad k = 0, 1, \dots, n-1 \] Liczba zespolona ma \( n \) pierwiastków, które są równomiernie rozmieszczone na płaszczyźnie zespolonej.

Przykład 5:

Obliczmy pierwiastki kwadratowe z liczby \( z = 4e^{i \frac{\pi}{3}} \):

  1. Moduł pierwiastka to \( \sqrt{4} = 2 \).
  2. Argumenty pierwiastków to:
    • Dla \( k = 0 \): \( \frac{\frac{\pi}{3} + 2 \cdot 0 \cdot \pi}{2} = \frac{\pi}{6} \),
    • Dla \( k = 1 \): \( \frac{\frac{\pi}{3} + 2 \cdot \pi}{2} = \frac{7\pi}{6} \).

Pierwiastki to: \[ z_0 = 2e^{i \frac{\pi}{6}}, \quad z_1 = 2e^{i \frac{7\pi}{6}} \]

Zastosowanie formy wykładniczej

Forma wykładnicza liczb zespolonych jest bardzo użyteczna w zaawansowanych obliczeniach, zwłaszcza w analizie sygnałów, fizyce oraz elektrotechnice. Dzięki niej operacje na liczbach zespolonych stają się prostsze i bardziej intuicyjne, zwłaszcza w przypadku mnożenia, dzielenia i operacji potęgowych.

Podsumowanie

Forma wykładnicza liczby zespolonej, wynikająca z tożsamości Eulera, jest potężnym narzędziem matematycznym. Dzięki niej operacje takie jak mnożenie, dzielenie czy podnoszenie do potęgi stają się prostsze i bardziej intuicyjne. Zastosowanie tej formy jest nieocenione w wielu dziedzinach, takich jak fizyka, inżynieria czy analiza sygnałów.