Równoległe funkcje liniowe

Funkcje liniowe są równoległe, gdy ich wykresy mają takie samo nachylenie, co oznacza, że mają ten sam współczynnik kierunkowy \( a \), ale mogą różnić się wyrazem wolnym \( b \). W takim przypadku funkcje nigdy się nie przecinają, ponieważ mają jednakowy kąt nachylenia względem osi \( x \).

Warunek równoległości funkcji liniowych

Dwie funkcje liniowe są równoległe, jeśli ich współczynniki kierunkowe \( a \) są równe, czyli:

\[ f(x) = ax + b_1 \] \[ g(x) = ax + b_2 \]

Równoległość oznacza, że funkcje te nigdy się nie przecinają, ponieważ mają identyczne nachylenie, ale różnią się położeniem na osi \( y \) (o czym decyduje wyraz wolny \( b \)).

Przykład funkcji równoległych

Rozważmy dwie funkcje:

  1. \( f(x) = 2x + 3 \)
  2. \( g(x) = 2x - 4 \)

Obie funkcje mają taki sam współczynnik kierunkowy \( a = 2 \), co oznacza, że są równoległe. Różnią się jedynie wyrazem wolnym — funkcja \( f(x) \) przecina oś \( y \) w punkcie \( (0, 3) \), a funkcja \( g(x) \) przecina oś \( y \) w punkcie \( (0, -4) \).

Sprawdzenie równoległości

Dla funkcji \( f(x) = 2x + 3 \) oraz \( g(x) = 2x - 4 \):

  1. Współczynniki kierunkowe obu funkcji wynoszą \( a = 2 \), co potwierdza ich równoległość.
  2. Ponieważ wyrazy wolne są różne (\( b_1 = 3 \) i \( b_2 = -4 \)), wykresy funkcji są przesunięte względem siebie na osi \( y \), ale nigdy się nie przetną.

Interpretacja geometryczna

Wykresy równoległych funkcji liniowych to dwie proste o takim samym nachyleniu. Proste te są od siebie oddalone, ale mają identyczną orientację względem osi \( x \). Odległość między nimi pozostaje stała, ponieważ różnica między wartościami \( b \) jest taka sama dla każdego punktu \( x \).

Zastosowania równoległych funkcji liniowych

Równoległe funkcje liniowe pojawiają się w wielu dziedzinach, takich jak:

Znalezienie funkcji liniowej równoległej do danej funkcji

Aby znaleźć funkcję liniową równoległą do danej funkcji \( f(x) = ax + b \), ale przechodzącą przez określony punkt \( P(x_p, y_p) \), postępujemy w następujący sposób:

  1. Wiemy, że współczynnik kierunkowy nowej funkcji musi wynosić \( a \), więc funkcja ma postać:

\[ g(x) = ax + b' \]

  1. Podstawiamy punkt \( P(x_p, y_p) \) do tej funkcji, aby znaleźć \( b' \):

\[ y_p = a \cdot x_p + b' \]

  1. Rozwiązujemy równanie względem \( b' \):

\[ b' = y_p - a \cdot x_p \]

Ostatecznie, funkcja równoległa do \( f(x) = ax + b \) i przechodząca przez punkt \( P(x_p, y_p) \) to:

\[ g(x) = ax + (y_p - a \cdot x_p) \]

Przykład 2

Znajdźmy funkcję równoległą do \( f(x) = 2x + 3 \), która przechodzi przez punkt \( P(1, 4) \).

  1. Współczynnik kierunkowy \( a = 2 \).
  2. Podstawiamy punkt \( P(1, 4) \):

\[ 4 = 2 \cdot 1 + b' \] \[ b' = 4 - 2 = 2 \]

Zatem funkcja równoległa to:

\[ g(x) = 2x + 2 \]

Wykres równoległych funkcji liniowych

Wykresy równoległych funkcji mają identyczne nachylenie. Można je narysować, wybierając kilka wartości \( x \) i obliczając odpowiadające im wartości \( f(x) \) oraz \( g(x) \). Dla przykładu, narysujmy funkcje \( f(x) = 2x + 3 \) oraz \( g(x) = 2x - 4 \):

Punkty na wykresie pokazują, że proste są równoległe, ale różnią się położeniem względem osi \( y \).