Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Dodawanie wyrażeń wymiernych

Aby dodać dwa wyrażenia wymierne, należy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Ogólna zasada jest następująca:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} + \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot S(x) + R(x) \cdot Q(x)}{Q(x) \cdot S(x)} \]

gdzie:

• \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) i \( \frac{R(x)}{S(x)} \) są wyrażeniami wymiernymi,
• \( P(x) \) i \( R(x) \) są licznikami,
• \( Q(x) \) i \( S(x) \) są mianownikami.

Przykład dodawania

Rozważmy wyrażenia wymierne:

\[ \frac{2x}{x + 1} \quad \text{i} \quad \frac{x - 3}{x + 1} \]

Ponieważ oba wyrażenia mają ten sam mianownik, możemy je dodać bez konieczności sprowadzania do wspólnego mianownika:

\[ \frac{2x}{x + 1} + \frac{x - 3}{x + 1} = \frac{2x + (x - 3)}{x + 1} = \frac{3x - 3}{x + 1} \]

Odejmowanie wyrażeń wymiernych

Podobnie jak w przypadku dodawania, aby odjąć jedno wyrażenie wymierne od drugiego, należy sprowadzić je do wspólnego mianownika:

\[ \frac{P(x)}{Q(x)} - \frac{R(x)}{S(x)} = \frac{P(x) \cdot S(x) - R(x) \cdot Q(x)}{Q(x) \cdot S(x)} \]

gdzie:

• \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) i \( \frac{R(x)}{S(x)} \) są wyrażeniami wymiernymi,
• \( P(x) \) i \( R(x) \) są licznikami,
• \( Q(x) \) i \( S(x) \) są mianownikami.

Przykład odejmowania

Rozważmy wyrażenia wymierne:

\[ \frac{5x^2}{x - 2} \quad \text{i} \quad \frac{3x}{x - 2} \]

Podobnie jak w przypadku dodawania, oba wyrażenia mają ten sam mianownik, więc możemy je odjąć bez potrzeby sprowadzania do wspólnego mianownika:

\[ \frac{5x^2}{x - 2} - \frac{3x}{x - 2} = \frac{5x^2 - 3x}{x - 2} \]

Własności dodawania i odejmowania wyrażeń wymiernych

• Wspólny mianownik: Kluczowym krokiem w dodawaniu i odejmowaniu wyrażeń wymiernych jest znalezienie wspólnego mianownika. Jeśli mianowniki są różne, należy je sprowadzić do wspólnego mianownika.

• Uproszczenie: Po dodaniu lub odjęciu wyrażeń wymiernych warto uprościć wyniki poprzez redukcję i skracanie wspólnych czynników w liczniku i mianowniku.

• Przemienność i łączne: Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych są przemienne i łączne. Oznacza to, że kolejność operacji nie wpływa na wynik.

Zastosowanie

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych są ważnymi umiejętnościami w matematyce, szczególnie przy rozwiązywaniu równań wymiernych i upraszczaniu skomplikowanych wyrażeń. Umiejętność ta jest przydatna w różnych dziedzinach matematyki, w tym w algebrze i analizie funkcji.