Zadania kwadratowe

1. Rozwiąż równanie kwadratowe

a) \(x^2-4=0\)

b) \(x^2-9=0\)

c) \(x^2-5x=0\)

d) \(x^2-6x=0\)

e) \(x^2-16=0\)

f) \(2x^2-8=0\)

2. Rozwiąż równanie kwadratowe (\(\Delta\))

a) \(2x^2-5x-3=0\)

b) \(5x^2-3x-2=0\)

c) \(-x^2+6x-5=0\)

d) \(3x^2-12x+12=0\)

e) \(x^2-3x-10=0\)

f) \(3x^2-2x-8=0\)

3. Oblicz miejsca zerowe funkcji \(f(x)\)

a) \(f(x)=x^2-7x+10\)

b) \(f(x)=2x^2-7x+3\)

c) \(f(x)=-x^2+8x-15\)

d) \(f(x)=6x^2+11x+3\)

e) \(f(x)=2x^2-9x+7\)

f) \(f(x)=-4x^2+20x-25\)

4. Przedstaw w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) i podaj wierzchołek

a) \(y=x^2+6x+5\)

b) \(y=2x^2-4x+7\)

c) \(y=-x^2+10x-9\)

d) \(y=3x^2+12x+11\)

e) \(y=-2x^2+8x-5\)

f) \(y=\tfrac12 x^2-3x+1\)

5. Rozwiąż nierówność kwadratową (podaj wynik w zapisie przedziałowym)

a) \(x^2-5x+6\ge 0\)

b) \(x^2-5x+6\le 0\)

c) \(2x^2-7x+3>0\)

d) \(-x^2+8x-15<0\)

e) \(6x^2+11x+3\ge 0\)

f) \(2x^2-9x+7<0\)

6. Punkty przecięcia wykresów (układ: linia i parabola)

a) \(\begin{cases} y=x^2 \\ y=2x+3 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} y=-x^2+4x+2 \\ y=x+2 \end{cases}\)

c) \(\begin{cases} y=2x^2-3x-5 \\ y=7-x \end{cases}\)

d) \(\begin{cases} y=x^2-6x+5 \\ y=2x-2 \end{cases}\)

e) \(\begin{cases} y=-\tfrac12x^2+x+4 \\ y=3x-2 \end{cases}\)

f) \(\begin{cases} y=3x^2+2x-5 \\ y=-x+1 \end{cases}\)

g) \(\begin{cases} y=0.8x^2-3.6x-1.9 \\ y=-1.2x+1.3 \end{cases}\)

7. Zadania tekstowe

a) Ogród. Prostokątny ogród ma pole \(96\,\text{m}^2\), a długość jest o \(6\,\text{m}\) większa od szerokości. Wyznacz wymiary ogrodu.

b) Liczba i jej odwrotność. Suma liczby dodatniej i jej odwrotności wynosi \(\tfrac{10}{3}\). Znajdź tę liczbę.

c) Prostokąt z przekątną. Obwód prostokąta wynosi \(34\,\text{cm}\), a jego przekątna ma długość \(13\,\text{cm}\). Wyznacz długości boków.

d) Łódź na rzece. Łódź płynie z nurtem rzeki z punktu A do B i wraca tą samą trasą (po \(60\,\text{km}\) w każdą stronę). Prędkość prądu to \(4\,\text{km/h}\). Powrót (pod prąd) trwa o \(2\,\text{h}\) dłużej niż spływ (z prądem). Wyznacz prędkość łodzi na wodzie stojącej.

e) Kolejne liczby. Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb całkowitych wynosi \(85\). Znajdź te liczby.

f) Dwie liczby w odstępie 2. Suma odwrotności dwóch dodatnich liczb różniących się o \(2\) jest równa \(\tfrac{3}{8}\). Wyznacz te liczby.

g) Wybieg przy ścianie. Dysponujesz \(30\,\text{m}\) siatki, by ogrodzić prostokątny wybieg przylegający do ściany budynku (ogrodzenie tylko na trzech bokach). Jakie wymiary dają maksymalne pole wybiegu?

h) Prostokąt o stałym obwodzie. Obwód prostokąta wynosi \(40\,\text{m}\). Dla jakich wymiarów pole jest maksymalne?