Twierdzenie Bézouta

Twierdzenie Bézouta jest jednym z fundamentalnych twierdzeń w algebrze, dotyczących wielomianów. Określa ono, że dla dwóch wielomianów istnieje taki sposób wyrażenia ich wspólnego największego dzielnika jako kombinacji liniowej tych wielomianów.

Treść twierdzenia

Dla dwóch wielomianów \( f(x) \) i \( g(x) \) w pierścieniu wielomianów nad ciałem, istnieją takie wielomiany \( u(x) \) i \( v(x) \), że:

\[d(x) = f(x) \cdot u(x) + g(x) \cdot v(x)\]

gdzie \( d(x) \) jest największym wspólnym dzielnikiem (NWD) wielomianów \( f(x) \) i \( g(x) \).

Przykład

Rozważmy dwa wielomiany:

\[f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2\]

\[g(x) = x^2 - 1\]

Chcemy znaleźć największy wspólny dzielnik oraz wyrazić go jako kombinację liniową \( f(x) \) i \( g(x) \).

  1. Znajdź NWD: Użyjemy algorytmu Euklidesa dla wielomianów, aby znaleźć NWD \( f(x) \) i \( g(x) \).

    • Dzielenie \( f(x) \) przez \( g(x) \) daje resztę.
    • Kontynuujemy dzielenie, aż reszta będzie równa zeru. NWD to ostatni niezerowy reszta.

  2. Wyrażenie NWD jako kombinacja liniowa: Otrzymany NWD zapisujemy jako:

\[d(x) = f(x) \cdot u(x) + g(x) \cdot v(x)\]

gdzie \( u(x) \) i \( v(x) \) są znalezione przy użyciu algorytmu Euklidesa.

Właściwości

  1. Uniwersalność: Twierdzenie Bézouta jest uniwersalne dla wszystkich pierścieni wielomianów nad ciałem.

  2. Zastosowanie: Pomaga w znajdowaniu największego wspólnego dzielnika wielomianów oraz w rozwiązywaniu równań algebraicznych i układów równań.

  3. Podstawowe narzędzie: Jest podstawowym narzędziem w teorii wielomianów i jest szeroko stosowane w algebraicznych algorytmach komputerowych.

Zastosowanie w praktyce

Twierdzenie Bézouta jest stosowane w wielu dziedzinach matematyki i inżynierii, takich jak kryptografia, analiza algebraiczna, oraz w rozwiązywaniu problemów z zakresu teorii liczb i algebraicznych układów równań.