Podstawienie trygonometryczne

Podstawienie trygonometryczne to technika używana w całkowaniu, która pozwala uprościć wyrażenia zawierające pierwiastki kwadratowe poprzez zamianę zmiennych na funkcje trygonometryczne. Jest to szczególnie użyteczne, gdy mamy do czynienia z wyrażeniami typu \( \sqrt{a^2 - x^2} \), \( \sqrt{a^2 + x^2} \) lub \( \sqrt{x^2 - a^2} \).

Typowe podstawienia trygonometryczne

1. \( \sqrt{a^2 - x^2} \)

Jeśli w całce występuje wyrażenie \( \sqrt{a^2 - x^2} \), używamy podstawienia:

\[ x = a \sin(\theta) \]

Z tego wynika:

\[ dx = a \cos(\theta) \, d\theta \]

oraz

\[ \sqrt{a^2 - x^2} = a \cos(\theta) \]

Całkę przekształcamy na zmienną \( \theta \), co upraszcza wyrażenie i umożliwia łatwiejsze całkowanie.

2. \( \sqrt{a^2 + x^2} \)

Gdy mamy wyrażenie \( \sqrt{a^2 + x^2} \), stosujemy podstawienie:

\[ x = a \tan(\theta) \]

Z tego wynika:

\[ dx = a \sec^2(\theta) \, d\theta \]

oraz

\[ \sqrt{a^2 + x^2} = a \sec(\theta) \]

To podstawienie przekształca całkę w funkcję trygonometryczną, którą można łatwiej rozwiązać.

3. \( \sqrt{x^2 - a^2} \)

Jeśli w całce pojawia się wyrażenie \( \sqrt{x^2 - a^2} \), stosujemy podstawienie:

\[ x = a \sec(\theta) \]

Z tego wynika:

\[ dx = a \sec(\theta) \tan(\theta) \, d\theta \]

oraz

\[ \sqrt{x^2 - a^2} = a \tan(\theta) \]

To podstawienie eliminuje pierwiastek kwadratowy, upraszczając całkę.

Przykład zastosowania podstawienia trygonometrycznego

Rozważmy całkę:

\[ \int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}} \]

Używamy podstawienia \( x = 2 \sin(\theta) \), co prowadzi do:

\[ dx = 2 \cos(\theta) \, d\theta \] \[ \sqrt{4 - x^2} = 2 \cos(\theta) \]

Wówczas całka staje się:

\[ \int \frac{2 \cos(\theta) \, d\theta}{2 \cos(\theta)} = \int d\theta = \theta + C \]

Z podstawienia \( x = 2 \sin(\theta) \) wynika \( \theta = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \), więc ostateczny wynik to:

\[ \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C \]

Podstawienie trygonometryczne w praktyce

Podstawienie trygonometryczne jest jedną z bardziej zaawansowanych technik całkowania, jednak jego zastosowanie pozwala na efektywne uproszczenie skomplikowanych wyrażeń. Wymaga znajomości tożsamości trygonometrycznych oraz umiejętności przekształcania zmiennych, ale w praktyce jest niezwykle użyteczne w analizie matematycznej.