Macierze diagonalne

Definicja macierzy diagonalnej

Macierz diagonalna to szczególny przypadek macierzy kwadratowej, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe 0. Oznacza to, że tylko elementy znajdujące się na głównej przekątnej macierzy mogą być różne od zera. Macierz diagonalna jest zazwyczaj oznaczana jako \(\mathbf{D}\).

Notacja macierzy diagonalnej

Macierz diagonalna rzędu \(n\) ma postać:

\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & d_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & d_n \end{pmatrix} \]

Gdzie \(d_1, d_2, \ldots, d_n\) to elementy na głównej przekątnej macierzy.

Właściwości macierzy diagonalnej

  1. Elementy na głównej przekątnej: Elementy znajdujące się na głównej przekątnej mogą być dowolnymi liczbami, natomiast wszystkie pozostałe elementy są równe 0.

  2. Mnożenie macierzy diagonalnych: Mnożenie dwóch macierzy diagonalnych \(\mathbf{D}_1\) i \(\mathbf{D}_2\) polega na mnożeniu odpowiadających sobie elementów na głównej przekątnej:

\[ \mathbf{D}_1 \cdot \mathbf{D}_2 = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e_{nn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_{11}e_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22}e_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & d_{nn}e_{nn} \end{pmatrix} \]

  1. Mnożenie przez macierz diagonalną: Mnożenie macierzy diagonalnej przez dowolną macierz \(\mathbf{A}\) o odpowiednich wymiarach prowadzi do macierzy, której wiersze są skalowane przez odpowiednie elementy głównej przekątnej:

\[ \mathbf{D} \cdot \mathbf{A} = \text{macierz, której każdy wiersz macierzy } \mathbf{A} \text{ jest mnożony przez odpowiedni element z głównej przekątnej } \mathbf{D} \]

  1. Transpozycja: Transpozycja macierzy diagonalnej nie zmienia jej postaci. To znaczy:

\[ \mathbf{D}^T = \mathbf{D} \]

  1. Inwersja: Macierz diagonalna jest odwracalna, pod warunkiem, że wszystkie elementy na głównej przekątnej są różne od zera. Inwersja macierzy diagonalnej polega na odwróceniu każdego z elementów na głównej przekątnej:

\[ \mathbf{D}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{d_1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{d_2} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{d_3} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{d_n} \end{pmatrix} \]

Przykład

Macierz diagonalna rzędu 3 to:

\[ \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \]

Jej odwrotność to:

\[ \mathbf{D}^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix} \]

Macierze diagonalne są ważne w wielu zastosowaniach algebry liniowej, w tym w rozwiązywaniu układów równań, diagonalizacji macierzy oraz w analizie własności macierzy.