Metoda eliminacji Gaussa-Jordana
Metoda eliminacji Gaussa-Jordana jest rozszerzeniem metody Gaussa, która pozwala przekształcić macierz współczynników układu równań do postaci zredukowanej schodkowej (macierz jednostkowa), umożliwiając bezpośrednie odczytanie rozwiązań układu.
Rozważmy układ równań liniowych:
\[ \begin{cases} x_1 - 2x_2 - 2x_3 = -6 \\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 2 \\ -x_1 + 7x_2 + x_3 = 8 \end{cases} \]
Krok 1: Zapisz układ w postaci macierzowej
Najpierw zapiszmy układ równań w postaci macierzowej:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 7 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \]
Macierz współczynników jest:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & 7 & 1 \end{pmatrix} \]
Macierz wyrazów wolnych to:
\[ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -6 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix} \]
Naszym celem jest przekształcenie macierzy \( A \) do postaci macierzy jednostkowej.
Krok 2: Eliminacja Gaussa-Jordana
Etap 1: Wyzerowanie pierwszej kolumny poniżej i powyżej elementu \( A_{11} \)
Najpierw eliminujemy elementy w pierwszej kolumnie poniżej i powyżej \( A_{11} \), czyli \( 2 \) w \( A_{21} \) i \( -1 \) w \( A_{31} \).
-
Aby wyeliminować \( A_{21} = 2 \), od drugiego wiersza odejmujemy \( 2 \) razy pierwszy wiersz:
\[ R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & -6 \\ 0 & 5 & 3 & | & 14 \\ -1 & 7 & 1 & | & 8 \end{pmatrix} \]
-
Aby wyeliminować \( A_{31} = -1 \), do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy wiersz:
\[ R_3 \leftarrow R_3 + R_1 \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & -6 \\ 0 & 5 & 3 & | & 14 \\ 0 & 5 & -1 & | & 2 \end{pmatrix} \]
Etap 2: Wyzerowanie drugiej kolumny poniżej i powyżej \( A_{22} \)
Teraz chcemy wyzerować elementy w drugiej kolumnie poniżej i powyżej \( A_{22} = 5 \), czyli \( 5 \) w \( A_{32} \) oraz \( -2 \) w \( A_{12} \).
-
Aby wyeliminować \( A_{32} = 5 \), odejmujemy od trzeciego wiersza drugi wiersz:
\[ R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2 & | & -6 \\ 0 & 5 & 3 & | & 14 \\ 0 & 0 & -4 & | & -12 \end{pmatrix} \]
-
Aby wyeliminować \( A_{12} = -2 \), dodajemy do pierwszego wiersza \( \frac{2}{5} \) razy drugi wiersz:
\[ R_1 \leftarrow R_1 + \frac{2}{5}R_2 \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{4}{5} & | & -\frac{14}{5} \\ 0 & 5 & 3 & | & 14 \\ 0 & 0 & -4 & | & -12 \end{pmatrix} \]
Etap 3: Wyzerowanie trzeciej kolumny
Na koniec wyeliminujemy elementy w trzeciej kolumnie, aby uzyskać macierz jednostkową.
-
Aby wyeliminować \( A_{23} = 3 \), odejmujemy od drugiego wiersza \( \frac{3}{4} \) razy trzeci wiersz:
\[ R_2 \leftarrow R_2 - \frac{3}{4}R_3 \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{4}{5} & | & -\frac{14}{5} \\ 0 & 5 & 0 & | & 5 \\ 0 & 0 & -4 & | & -12 \end{pmatrix} \]
-
Aby wyeliminować \( A_{13} = -\frac{4}{5} \), dodajemy do pierwszego wiersza \( \frac{1}{5} \) razy trzeci wiersz:
\[ R_1 \leftarrow R_1 + \frac{1}{5}R_3 \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 \\ 0 & 5 & 0 & | & 5 \\ 0 & 0 & -4 & | & -12 \end{pmatrix} \]
-
Na koniec dzielimy drugi wiersz przez \( 5 \), a trzeci przez \( -4 \), aby uzyskać macierz jednostkową:
\[ R_2 \leftarrow \frac{1}{5}R_2, \quad R_3 \leftarrow \frac{1}{-4}R_3 \]
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{pmatrix} \]
Krok 3: Rozwiązanie
Ostateczne rozwiązanie układu to:
\[ x_1 = 2, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 3 \]
Układ równań ma jedno rozwiązanie: \( (2, 1, 3) \).