Moduł i argument liczby zespolonej

Moduł i argument liczby zespolonej są kluczowymi pojęciami, które umożliwiają przedstawienie liczb zespolonych w formie geometrycznej. Moduł odnosi się do długości wektora reprezentującego liczbę zespoloną na płaszczyźnie zespolonej, a argument to kąt, jaki ten wektor tworzy z osią rzeczywistą.

Moduł liczby zespolonej

Definicja:

Modułem liczby zespolonej \( z = a + bi \) nazywamy długość wektora, który reprezentuje tę liczbę na płaszczyźnie zespolonej. Moduł obliczamy ze wzoru: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] gdzie:

\(a\) to część rzeczywista liczby zespolonej,
\(b\) to część urojona liczby zespolonej.

Przykład 1:

Dla liczby zespolonej \( z = 3 + 4i \) moduł wynosi: \[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Przykład 2:

Dla liczby \( z = -2 + i \): \[ |z| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]

Argument liczby zespolonej

Definicja:

Argumentem liczby zespolonej \( z = a + bi \) nazywamy kąt \( \theta \), który wektor reprezentujący liczbę zespoloną tworzy z osią rzeczywistą (poziomą). Argument można obliczyć za pomocą funkcji tangens: \[ \theta = \operatorname{arg}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \] Argument liczby zespolonej może być wyrażony w radianach lub stopniach, a jego wartość zależy od ćwiartki, w której znajduje się liczba zespolona na płaszczyźnie zespolonej.

Przykład 1:

Dla liczby zespolonej \( z = 1 + i \): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \, \text{radianów} \, \text{(czyli 45°)} \]

Przykład 2:

Dla liczby \( z = -1 + i \) (leży w drugiej ćwiartce): \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{-1}\right) = \tan^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4} \, \text{radianów} \, \text{(czyli 135°)} \]

Uwagi dotyczące argumentu:

Argument liczby zespolonej zależy od ćwiartki, w której leży liczba. Dla każdej ćwiartki wartości funkcji tangens są różne, co wpływa na wartość argumentu.
Argument liczby zespolonej \( z \) można wyrazić jako główną wartość argumentu, która zwykle mieści się w zakresie \( (-\pi, \pi] \), lub jako dowolną wielokrotność kąta o \( 2\pi \).

Relacja między modułem a argumentem

Moduł i argument są kluczowymi parametrami liczby zespolonej, szczególnie przy przechodzeniu z postaci algebraicznej \( z = a + bi \) na postać trygonometryczną \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \), gdzie:

\( r = |z| \) to moduł liczby zespolonej,
\( \theta = \operatorname{arg}(z) \) to argument liczby zespolonej.

Postać trygonometryczna liczby zespolonej opiera się na tych dwóch wielkościach i umożliwia łatwiejsze wykonywanie operacji takich jak mnożenie i dzielenie liczb zespolonych.

Przykłady zastosowania

Przykład 1: Obliczanie modułu i argumentu

Dla liczby zespolonej \( z = -3 + 4i \):

Moduł: \[ |z| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Argument: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{-3}\right) \approx 126,87^\circ \, \text{(czyli \(2,21 \, \text{radianów}\))} \]

Przykład 2: Użycie modułu i argumentu do obliczeń

Rozważmy liczby zespolone \( z_1 = 1 + i \) oraz \( z_2 = \sqrt{2} - i \). Aby pomnożyć te liczby w formie trygonometrycznej, najpierw obliczamy ich moduły i argumenty:

Moduł i argument dla \( z_1 = 1 + i \):

Moduł: \[ |z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]
Argument (ponieważ liczba leży w pierwszej ćwiartce): \[ \operatorname{arg}(z_1) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4} \]

Moduł i argument dla \( z_2 = \sqrt{2} - i \):

Moduł: \[ |z_2| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} \]
Argument (ponieważ liczba leży w czwartej ćwiartce): \[ \operatorname{arg}(z_2) = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right) = -\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{6} \]

Podsumowując:

\( |z_1| = \sqrt{2} \), \( \operatorname{arg}(z_1) = \frac{\pi}{4} \),
\( |z_2| = \sqrt{3} \), \( \operatorname{arg}(z_2) = -\frac{\pi}{6} \).

Podsumowanie

Moduł i argument liczby zespolonej pozwalają na geometryczne przedstawienie liczb zespolonych na płaszczyźnie. Moduł odpowiada długości wektora, a argument odpowiada kątowi, który wektor tworzy z osią rzeczywistą. Te dwa parametry są kluczowe w operacjach takich jak mnożenie, dzielenie oraz w konwersji do postaci trygonometrycznej.