Inwersja macierzy

Macierz odwrotna (inwersja) istnieje tylko dla macierzy kwadratowych i jest macierzą, która pomnożona przez oryginalną macierz daje macierz jednostkową. Macierz \(\mathbf{A}\) o wymiarach \(n \times n\) ma macierz odwrotną \(\mathbf{A}^{-1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik \(\text{det}(\mathbf{A}) \neq 0\).

Macierz odwrotna \(\mathbf{A}^{-1}\) spełnia:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I} \]

gdzie \(\mathbf{I}\) jest macierzą jednostkową o wymiarach \(n \times n\).

Obliczanie macierzy odwrotnej

Dla macierzy \(2 \times 2\):

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]

macierz odwrotna \(\mathbf{A}^{-1}\) jest dana wzorem:

\[ \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\mathbf{A})} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

gdzie \(\text{det}(\mathbf{A})\) to wyznacznik macierzy \(\mathbf{A}\):

\[ \text{det}(\mathbf{A}) = ad - bc \]

Przykład obliczania macierzy odwrotnej

Dla macierzy:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \]

wyznacznik to:

\[ \text{det} (\mathbf{A}) = (1 \cdot 4) - (2 \cdot 3) = 4 - 6 = -2 \]

Macierz odwrotna \(\mathbf{A}^{-1}\) jest więc:

\[ \mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \]

Uwaga

Dla większych macierzy obliczanie macierzy odwrotnej jest bardziej złożone i zazwyczaj wymaga zastosowania algorytmów numerycznych, takich jak eliminacja Gaussa czy rozkład LU.