Twierdzenie cosinusów - Udowodnienie

Twierdzenie cosinusów

W dowolnym trójkącie kwadrat jednej z jego stron można obliczyć, odejmując od sumy kwadratów dwóch pozostałych stron podwojony iloczyn tych dwóch stron i cosinusa kąta między nimi.

Wzór:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos{\gamma} \]

Udowodnienie

Skierujmy boki trójkąta w następujący sposób:

• Bok \(a\) to wektor \( \vec{a} \) z \(C\) kierowany do \(B\)
• bok \(b\) to wektor \( \vec{b} \) z \(C\) kierowany do \(A\)
• bok \(c\) to wektor \( \vec{c} \) z \(A\) kierowany do \(B\).

W tym przypadku długości wektorów \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) oraz \( \vec{c} \) są równe długościom odpowiednich boków trójkąta.

Wektor \( \vec{c} \) można zapisać jako różnicę wektorów \( \vec{a} \) i \( \vec{b} \), czyli:
\[ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} \]

Podnieśmy obie strony równania do kwadratu:
\[ \vec{c}^2 = (\vec{a} - \vec{b})^2 \]

Wykorzystując własność rozdzielności mnożenia skalarnego:
\[ \vec{c}^2 = \vec{a}^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2 \]

Z definicji iloczynu skalarnego wynika, że iloczyn skalar wektora z samym sobą jest równy kwadratowi jego długości:
\[ \vec{c}^2 = c^2, \quad \vec{a}^2 = a^2, \quad \vec{b}^2 = b^2 \]

Z definicji iloczynu skalarnego również wiemy, że:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos{\gamma} \]

Zatem otrzymujemy:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos{\gamma} \]

Oczywiście twierdzenie i jego dowód są prawdziwe dla dowolnego boku trójkąta.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie cosinusów można traktować jako uogólnienie twierdzenia Pitagorasa, kiedy kąt między bokami wynosi dokładnie 90°. Wówczas \( \cos{\gamma} = 0 \), co sprawia, że twierdzenie cosinusów sprowadza się do twierdzenia Pitagorasa:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Wnioski

Udowodniliśmy twierdzenie cosinusów, które opisuje związek między długościami boków trójkąta a miarą kąta między nimi.

Twierdzenie cosinusów jest przydatne w obliczeniach dotyczących trójkątów w następujących sytuacjach:

1. Jeśli znamy długości dwóch boków trójkąta i miarę kąta między nimi, możemy obliczyć długość trzeciego boku za pomocą twierdzenia cosinusów.

2. Jeśli znamy długości wszystkich trzech boków trójkąta, możemy obliczyć miary dowolnego kąta, korzystając z twierdzenia cosinusów.

Twierdzenie cosinusów jest również nazywane twierdzeniem Carnota, na cześć XVIII-wiecznego francuskiego matematyka.

Pamiętaj, że ten wzór działa w każdym trójkącie, nie tylko w prostokątnym, co czyni go bardzo wszechstronnym i ważnym w geometrii!