Potęga ujemna

Potęga ujemna to operacja matematyczna, w której podstawę \( a \) podnosimy do ujemnego wykładnika \( -n \). Potęga ujemna definiowana jest jako odwrotność potęgi dodatniej, co można zapisać wzorem:

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

gdzie \( a \neq 0 \) i \( n > 0 \).

Przykład

\[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \]

W tym przykładzie, liczba \( 2^{-3} \) oznacza odwrotność liczby \( 2^3 \), czyli \( \frac{1}{8} \).

Własności potęg ujemnych

  1. Odwrotność potęgi: Podniesienie liczby do potęgi ujemnej oznacza wykonanie operacji odwrotnej do podnoszenia do potęgi dodatniej: \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

  2. Potęgowanie ułamków: Podnoszenie ułamka do ujemnej potęgi powoduje zamianę miejscami licznika i mianownika oraz podniesienie ich do dodatniej potęgi: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \] Na przykład: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} \]

  3. Prawo mnożenia potęg o tej samej podstawie: Potęgi z ujemnymi wykładnikami mogą być dodawane z potęgami dodatnimi, zgodnie z prawem mnożenia: \[ a^m \cdot a^{-n} = a^{m-n} \] Na przykład: \[ 2^3 \cdot 2^{-2} = 2^{3-2} = 2^1 = 2 \]

  4. Prawo dzielenia potęg o tej samej podstawie: W przypadku dzielenia potęg z ujemnym wykładnikiem, odejmujemy wykładniki: \[ \frac{a^m}{a^{-n}} = a^{m+n} \] Na przykład: \[ \frac{2^2}{2^{-3}} = 2^{2+3} = 2^5 = 32 \]

Zastosowania potęg ujemnych

Potęgi ujemne mają szerokie zastosowanie w matematyce i naukach ścisłych. Pojawiają się między innymi w:

Potęga ujemna jest zatem uniwersalnym narzędziem, które pomaga zrozumieć i opisać wiele zjawisk matematycznych oraz fizycznych.