Wzory i twierdzenia dotyczące liczb zespolonych

Liczby zespolone to kluczowe pojęcie w matematyce, a ich właściwości są opisywane przez wiele wzorów i twierdzeń. W tej sekcji przedstawiamy najważniejsze wzory i twierdzenia związane z liczbami zespolonymi, które znajdują zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i techniki.

1. Podstawowe wzory algebraiczne

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych

Dla dwóch liczb zespolonych \( z_1 = a + bi \) oraz \( z_2 = c + di \): \[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \] \[ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i \]

Mnożenie liczb zespolonych

Dla liczb zespolonych \( z_1 = a + bi \) i \( z_2 = c + di \): \[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

Dzielenie liczb zespolonych

Aby podzielić \( z_1 = a + bi \) przez \( z_2 = c + di \), mnożymy licznik i mianownik przez sprzężenie liczby \( z_2 \): \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \]

2. Moduł i argument liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej

Moduł liczby zespolonej \( z = a + bi \) obliczamy ze wzoru: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Argument liczby zespolonej

Argument liczby zespolonej \( z = a + bi \) to kąt \( \theta \), który liczba tworzy z osią rzeczywistą: \[ \theta = \arg(z) = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) \]

3. Forma trygonometryczna liczby zespolonej

Liczba zespolona \( z = a + bi \) może być zapisana w formie trygonometrycznej: \[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \] gdzie:

4. Forma wykładnicza liczby zespolonej

Z wykorzystaniem tożsamości Eulera liczba zespolona może być przedstawiona w formie wykładniczej: \[ z = r e^{i \theta} \] gdzie \( r \) to moduł liczby zespolonej, a \( \theta \) to jej argument.

5. Wzór de Moivre’a

Wzór de Moivre’a pozwala na podnoszenie liczby zespolonej zapisanej w formie trygonometrycznej do potęgi \( n \): \[ z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right) \]

6. Pierwiastki z liczb zespolonych

Aby obliczyć \( n \)-ty pierwiastek z liczby zespolonej \( z = r e^{i \theta} \), korzystamy z wzoru: \[ z_k = r^{1/n} e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n}} \quad \text{dla} \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1 \]

7. Twierdzenie o sprzężeniu liczby zespolonej

Dla liczby zespolonej \( z = a + bi \), jej sprzężenie \( \overline{z} \) to liczba \( \overline{z} = a - bi \). Właściwości sprzężenia:

8. Twierdzenie o pierwiastkach wielomianu

Twierdzenie algebraiczne mówi, że każdy wielomian stopnia \( n \) ma dokładnie \( n \) pierwiastków w zbiorze liczb zespolonych (z uwzględnieniem ich wielokrotności). W praktyce oznacza to, że każde równanie wielomianowe stopnia wyższego niż 2 może mieć pierwiastki zespolone.

9. Twierdzenie Gaussa-Lukasa

Twierdzenie to dotyczy pierwiastków wielomianów i ich pochodnych. Mówi ono, że pierwiastki pochodnej wielomianu znajdują się wewnątrz otoczki wypukłej pierwiastków samego wielomianu. To twierdzenie ma znaczenie w analizie numerycznej i badaniu własności wielomianów.

Podsumowanie

Wzory i twierdzenia związane z liczbami zespolonymi stanowią fundament wielu działów matematyki oraz dziedzin technicznych. Pozwalają na łatwiejsze wykonywanie operacji algebraicznych, rozwiązywanie równań oraz zrozumienie geometrii liczb zespolonych na płaszczyźnie zespolonej. Ich znajomość jest kluczowa dla zrozumienia zaawansowanej analizy matematycznej, fizyki kwantowej i inżynierii.