Przesunięcie funkcji odwrotnej wzdłuż osi \( x \)

Definicja funkcji odwrotnej

Funkcja odwrotna ma postać:

\[ f(x) = \frac{a}{x} \]

gdzie \( a \) jest stałą liczbą rzeczywistą.

Przesunięcie funkcji odwrotnej

Przesunięcie funkcji odwrotnej wzdłuż osi \( x \) polega na modyfikacji argumentu funkcji. Funkcja przesunięta wzdłuż osi \( x \) ma postać:

\[ f(x) = \frac{a}{x - h} \]

gdzie \( h \) jest wartością, o którą funkcja jest przesunięta wzdłuż osi \( x \).

1. Własności funkcji po przesunięciu

Dziedzina: Dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem \( x = h \). Funkcja nie jest zdefiniowana w punkcie \( x = h \), ponieważ dzielenie przez zero jest niedozwolone.
Asymptoty:
- Asymptota pionowa: Funkcja ma asymptotę pionową w \( x = h \). W miarę jak \( x \) zbliża się do \( h \), wartość funkcji rośnie do nieskończoności (dla \( a > 0 \)) lub maleje do minus nieskończoności (dla \( a < 0 \)).
- Asymptota pozioma: Funkcja ma asymptotę poziomą w \( y = 0 \), tak samo jak funkcja nieprzesunięta. W miarę jak \( x \) rośnie w nieskończoność lub zmierza do minus nieskończoności, wartość funkcji zbliża się do zera.
Wykres funkcji: Przesunięcie funkcji odwrotnej wzdłuż osi \( x \) spowoduje, że wykres funkcji zostanie przesunięty o \( h \) jednostek w prawo (jeśli \( h \) jest dodatnie) lub w lewo (jeśli \( h \) jest ujemne).

2. Przykład

Rozważmy funkcję:

\[ f(x) = \frac{4}{x - 2} \]

Dziedzina: Dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem \( x = 2 \). Funkcja nie jest zdefiniowana dla \( x = 2 \).
Asymptoty:
- Asymptota pionowa: Występuje w \( x = 2 \).
- Asymptota pozioma: Występuje w \( y = 0 \).
Wykres: Wykres funkcji \( f(x) = \frac{4}{x - 2} \) jest przesunięty w prawo o 2 jednostki w porównaniu do wykresu funkcji \( f(x) = \frac{4}{x} \). Funkcja zbliża się do osi \( x \), ale ją nie przecina.

Zastosowanie przesunięcia funkcji odwrotnej

Przesunięcia funkcji odwrotnej wzdłuż osi \( x \) są używane w matematyce i naukach ścisłych do modelowania sytuacji, w których zmiana w jednym parametrze wpływa na zmienność funkcji. Może to być przydatne w analizie danych, inżynierii oraz w wielu innych dziedzinach.