Zadanie

Mamy dane liczby: \( 2,\, 1,\, 5,\, a,\, 4,\, 1 \). Wiadomo, że ich średnia arytmetyczna jest równa ich wariancji (wariancji w sensie populacyjnym). Znajdź wszystkie możliwe wartości parametru \( a \).

Rozwiązanie

Średnia arytmetyczna tych sześciu wartości to: \[ \bar{x} = \frac{2 + 1 + 5 + a + 3 + 1}{6} = \frac{13 + a}{6} \]

Wariancja tych sześciu wartości to: \[ \sigma^2 = \frac{(2-\bar{x})^2 + (1-\bar{x})^2 + (5-\bar{x})^2 + (a-\bar{x})^2 + (4-\bar{x})^2 + (1-\bar{x})^2}{6} \]

Zadanie wymaga, by \[\bar{x} = \sigma^2\]

Czyli: \[ \frac{13 + a}{6} = \frac{(2-\bar{x})^2 + (1-\bar{x})^2 + (5-\bar{x})^2 + (a-\bar{x})^2 + (4-\bar{x})^2 + (1-\bar{x})^2}{6} \] Po wymnożeniu obu stron przez 6 otrzymujemy: \[ 13 + a = (2-\bar{x})^2 + (1-\bar{x})^2 + (5-\bar{x})^2 + (a-\bar{x})^2 + (4-\bar{x})^2 + (1-\bar{x})^2 \]

Można stosować wzór skróconego mnożenia: \[ (p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2 \]

\[ 13 + a = 4-4\bar{x}+\bar{x}^2 + 1-2\bar{x}+\bar{x}^2 + 25-10\bar{x}+\bar{x}^2 + a^2-2a\bar{x}+\bar{x}^2 + 16-8\bar{x}+\bar{x}^2 + 1-2\bar{x}+\bar{x}^2 \]

\[ 13 + a = 6\bar{x}^2 + (-26-2a)\bar{x} + (47 + a^2) \]

Można wszędzie zastąpić \(\bar{x}\) z \(\frac{13 + a}{6}\)

\[ 13 + a = 6\left(\frac{13 + a}{6}\right)^2 + \frac{\left(-26-2a\right)\left(13 + a\right)}{6} + (47 + a^2) \]

\[ 13 + a = 6\left(\frac{169 + 26a + a^2}{36}\right) + \frac{-338-26a-26a-2a^2}{6} + (47 + a^2) \]

Obie strony mnożę przez \(6\): \[ 78 + 6a = 169 + 26a + a^2 -338-52a-2a^2 + 282 + 6a^2 \]

Przekładam wszystko na jedną stronę: \[ 0 = 5a^2 - 32a + 35 \]

Rozwiązujemy za pomocą delty: \[ \Delta = 1024 - 700 = 324 \]

\[ \sqrt{\Delta} = 18 \]

\[ a_{1,2} = \frac{32 \pm 18}{10} = 3.2 \pm 1.8 \]

\[ a_1 = 1.4 \qquad a_2 = 5 \]