Zadanie

Trzy liczby, których suma jest równa 21, tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli od drugiej z nich odejmiemy 1, a do trzeciej dodamy 6, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Rozwiązanie

Oznaczmy liczby jako:
\[ a - r,\ a,\ a + r \]

Warunek sumy: \[ (a - r) + a + (a + r) = 3a = 21 \] \[ a = 7 \]

Liczby: \[ 7 - r,\ 7,\ 7 + r \]

Po zmianie: \[ 7 - r,\ 6,\ 13 + r \]

istnieje \( q \), że: \[ \left\{ \begin{aligned} (7 - r) \cdot q &= 6 \quad & \text{(1)} \\ 6 \cdot q &= 13 + r \quad & \text{(2)} \end{aligned} \right. \]

Z (1):
\[ q = \frac{6}{7 - r} \]

Podstawiamy do (2):
\[ 6 \cdot \frac{6}{7 - r} = 13 + r \] \[ \frac{36}{7 - r} = 13 + r \]

Mnożymy obustronnie przez \( 7 - r \):
\[ 36 = (13 + r)(7 - r) \] \[ 36 = 91 - 6r - r^2 \] \[ r^2 + 6r - 55 = 0 \] \[r = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 220}}{2} = \frac{-6 \pm 16}{2} \] \[r = 5 \text{ lub } r = -11 \]

Dla \( r = 5 \):
\[ 2,\ 7,\ 12 \]

Dla \( r = -11 \):
\[ 18,\ 7,\ -4 \]

Odpowiedź

Trójki spełniające warunki: \( (2,\ 7,\ 12) \) oraz \( (18,\ 7,\ -4) \)

Zadanie

Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny jest równa 15. Jeśli pierwszą i drugą z tych liczb zwiększymy o 1 a trzecią o 4, to otrzymamy ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Rozwiązanie

Oznaczmy liczby jako:
\[ a - r,\ a,\ a + r \]

Warunek sumy: \[ (a - r) + a + (a + r) = 3a = 15 \] \[ a = 5 \]

Liczby: \[ 5 - r,\ 5,\ 5 + r \]

Po zmianie: \[ 6 - r,\ 6,\ 9 + r \]

istnieje \( q \), że: \[ \left\{ \begin{aligned} (6 - r) \cdot q &= 6 \quad & \text{(1)} \\ 6 \cdot q &= 9 + r \quad & \text{(2)} \end{aligned} \right. \]

Z (1):
\[ q = \frac{6}{6 - r} \]

Podstawiamy do (2):
\[ 6 \cdot \frac{6}{6 - r} = 9 + r \] \[ \frac{36}{6 - r} = 9 + r \]

Mnożymy obustronnie przez \( 6 - r \):
\[ 36 = (9 + r)(6 - r) \] \[ 36 = 54 - 3r - r^2 \] \[ r^2 + 3r - 18 = 0 \] \[r = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2} = \frac{-3 \pm 9}{2} \] \[r = 3 \text{ lub } r = -6 \]

Dla \( r = 3 \):
\[ 2,\ 5,\ 8 \]

Dla \( r = -11 \):
\[ 11,\ 5,\ -1 \]

Odpowiedź

Trójki spełniające warunki: \( (2,\ 5,\ 8) \) oraz \( (11,\ 5,\ -1) \)