Układ współrzędnych

Definicja układu współrzędnych

Układ współrzędnych to system, w którym każdy punkt na płaszczyźnie jest określony przez zestaw liczb, zwanych współrzędnymi. Układ współrzędnych umożliwia precyzyjne opisanie położenia punktów i obiektów geometrycznych w przestrzeni.

1. Układ współrzędnych kartezjańskich

Układ współrzędnych kartezjańskich to najczęściej używany układ współrzędnych w matematyce. Składa się z dwóch osi, które przecinają się pod kątem prostym, tworząc osi \(x\) i osi \(y\). Punkty w tym układzie są określane przez parę współrzędnych \((x, y)\), gdzie \(x\) to odległość od osi \(y\), a \(y\) to odległość od osi \(x\).

2. Układ współrzędnych biegunowych

Układ współrzędnych biegunowych opisuje punkty w przestrzeni za pomocą odległości od ustalonego punktu (bieguna) i kąta. Każdy punkt jest określany przez parę \((r, \theta)\), gdzie:

• \(r\) to odległość od bieguna,
• \(\theta\) to kąt między osią odniesienia (zazwyczaj osią \(x\)) a linią łączącą punkt z biegunem.

3. Układ współrzędnych cylindrycznych

Układ współrzędnych cylindrycznych jest rozszerzeniem układu biegunowego na trzeci wymiar. Punkty są określane przez współrzędne \((r, \theta, z)\), gdzie:

• \(r\) to odległość od osi \(z\),
• \(\theta\) to kąt w płaszczyźnie \(xy\),
• \(z\) to odległość od płaszczyzny \(xy\) wzdłuż osi \(z\).

4. Układ współrzędnych sferycznych

Układ współrzędnych sferycznych opisuje punkty w przestrzeni trójwymiarowej za pomocą promienia, kąta azymutalnego i kąta zenitalnego. Każdy punkt jest określany przez współrzędne \((\rho, \theta, \phi)\), gdzie:

• \(\rho\) to odległość od początku układu,
• \(\theta\) to kąt azymutalny (kąt w płaszczyźnie \(xy\)),
• \(\phi\) to kąt zenitalny (kąt od osi \(z\)).

5. Przekształcenia układów współrzędnych

W praktyce często zachodzi potrzeba przekształcania punktów między różnymi układami współrzędnych. Na przykład:

• Przekształcenie z układu kartezjańskiego na biegunowy:

\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \] \[ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]

• Przekształcenie z układu biegunowego na kartezjański:

\[ x = r \cdot \cos(\theta) \] \[ y = r \cdot \sin(\theta) \]

Zastosowania

Układy współrzędnych mają szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach:

• matematyka, do analizy funkcji i rozwiązywania równań,
• fizyka, do opisu ruchu ciał i sił w przestrzeni,
• inżynieria i komputerowa grafika, do modelowania obiektów i symulacji,
• geodezja, do określania lokalizacji punktów na powierzchni Ziemi.