Funkcja kwadratowa — zadania o postaci kanonicznej
1. Odczytaj z postaci kanonicznej: wierzchołek, oś symetrii, kierunek ramion
a) \(y=(x-3)^2-4\)
b) \(y=2(x+1)^2+5\)
c) \(y=-\tfrac12(x-6)^2+2\)
d) \(y=3(x-4)^2-7\)
e) \(y=-4(x+2)^2\)
f) \(y=\tfrac13(x-9)^2+1\)
g) \(y=-2(x-0)^2+0\)
h) \(y=5(x+5)^2-12\)
3. Przesunięcia wykresu: start od \(y=x^2\). Podaj równanie po transformacji
a) Przesuń o \(3\) w prawo i o \(2\) w górę.
b) Przesuń o \(5\) w lewo i o \(4\) w dół.
c) Rozciągnij pionowo 2×, potem przesuń w prawo o 1 i w góre o 3.
d) Odbij w osi \(X\), przesuń w lewo o \(4\) i w górę o \(6\).
e) Spłaszcz na połowe, przesuń w prawo o \(7\).
f) Odbij i rozciągnij 3×, przesuń w górę o \(2\).
g) Przesuń żeby wierzchołek znajdował się w punkcie \(W=(-1,-5)\).
h) Rozciągnij 5×, przesuń, żeby wierzchołek znajdował się w punkcie \(W=(-1,0)\).
i) Najpierw rozciągnij pionowo 3×, potem w prawo o 2, na końcu w górę o 5.
j) Najpierw w lewo o 1, potem spłaszcz do \(a=\tfrac14\), na końcu w dół o 9.
k) Najpierw odbicie w osi \(X\), potem 2× pionowo, w prawo o 6, w górę o 1.
4. Dopasuj \(a,p,q\) na podstawie danych o wierzchołku i jednym punkcie
Podaj równanie w postaci kanonicznej.
a) \(W(2,-3)\), \(A(3,1)\).
b) \(W(-1,4)\), \(A(1,12)\).
c) \(W(5,0)\), \(A(7,8)\).
d) \(W(-4,-5)\), \(A(-2,-1)\).
e) \(W(0,6)\), \(A(2,10)\).
f) \(W(3,3)\), \(A(0,15)\).
g) \(W(1,-1)\), \(A(-2,26)\).
h) \(W(-3,2)\), \(A(-1,10)\).
5. Ekspresowe ćwiczenia wczytywania \(p,q\) z "gołego wzoru"
Podaj wartości \(p\) i \(q\).
a) \(y=7(x-2)^2-1\)
b) \(y=-\tfrac13(x+5)^2+4\)
c) \(y=9x^2\)
d) \(y=\tfrac25(x-8)^2-10\)
e) \(y=-4(x-1)^2+16\)
f) \(y=\tfrac12(x+9)^2-3\)
6. Z postaci ogólnej do kanonicznej kompletując kwadrat (pokaż kroki)
a) \(y=2x^2+6x+1\)
b) \(y=-x^2+4x-3\)
c) \(y=3x^2-12x+5\)
d) \(y=-2x^2-8x+7\)
e) \(y=\tfrac12x^2-3x+10\)
f) \(y=-\tfrac32x^2+9x-4\)
7. Nierówności kwadratowe rozwiązane przez odczyt z postaci kanonicznej
Wskazówka: ustal znak \(a\), minimum/maksimum w \(x=p\), potem rozwiązuj.
a) \((x-2)^2-9\ge 0\)
b) \(2(x+1)^2-8\le 0\)
c) \(-3(x-4)^2+12>0\)
d) \(\tfrac12(x-5)^2+1\ge 3\)
e) \(-(x+2)^2+5\le 1\)
f) \(4x^2-16<0\)
8. Miejsca zerowe "na oko" z postaci kanonicznej
Podaj miejsca zerowe (jeśli istnieją).
a) \(y=(x-3)^2-1\)
b) \(y=2(x+2)^2-18\)
c) \(y=-\tfrac12(x-1)^2+8\)
d) \(y=3(x-4)^2+5\)
e) \(y=-4(x+5)^2+36\)
f) \(y=\tfrac14(x-0)^2-9\)
9. Dopasowanie położenia wierzchołka i przecięcia z osią \(Oy\)
Znajdź \(a,p,q\) wiedząc gdzie jest wierzchołek oraz znając wartośc funkcji \(f(0)\).
a) \(W(2,-5)\), \(f(0)=3\).
b) \(W(-3,1)\), \(f(0)=-5\).
c) \(W(4,0)\), \(f(0)=16\).
d) \(W(1,7)\), \(f(0)=10\).
e) \(W(-2,-2)\), \(f(0)=6\).
10. Równania z parametrem — wpływ na przesunięcie
Dla jakich \(t\) parabola ma podany wierzchołek lub własność?
a) \(y=2(x-t)^2+1\). Wyznacz \(t\), aby oś symetrii była \(x=5\).
b) \(y=-(x-t)^2+t\). Dla jakich \(t\) wierzchołek leży nad osią \(Ox\)?
c) \(y=3(x-t)^2+2t\). Dla jakich \(t\) funkcja ma dwa miejsca zerowe?
d) \(y=-(x+t)^2+4\). Dla jakich \(t\) oś symetrii przecina przedział \(x\in(0,3)\)?
11. Układy: linia i parabola w postaci kanonicznej
Rozwiąż układ, zaczynając od kanonicznej.
a) \(\begin{cases} y=(x-2)^2-3 \\ y= x+1 \end{cases}\)
b) \(\begin{cases} y=-2(x+1)^2+8 \\ y= -x+4 \end{cases}\)
c) \(\begin{cases} y=\tfrac12(x-6)^2-2 \\ y= 2x-10 \end{cases}\)
d) \(\begin{cases} y=3(x-1)^2-5 \\ y= -x-1 \end{cases}\)
e) \(\begin{cases} y=-(x-4)^2+9 \\ y= 3x-7 \end{cases}\)
f) \(\begin{cases} y=2(x+3)^2-6 \\ y= -\tfrac12x+1 \end{cases}\)
12. Optymalizacja "na kanonicznej"
a) Znajdź minimum \(f(x)=2(x-4)^2-7\). Podaj wartość i arg min.
b) Znajdź maksimum \(g(x)=-\tfrac12(x+3)^2+5\). Podaj wartość i arg max.
c) Dla \(h(x)=a(x-1)^2+q\) z \(a>0\): na jakim \(x\) osiągane jest minimum i ile wynosi?
d) Wyznacz najmniejszą wartość \(k(x)=3(x-2)^2-6\) oraz wszystkie \(x\), dla których \(k(x)\le 21\).
13. Konstrukcja z trzech punktów (jeden to wierzchołek)
Dany wierzchołek i dwa punkty — zweryfikuj zgodność i znajdź \(a\).
a) \(W(2,1)\), \(A(0,9)\), \(B(4,9)\).
b) \(W(-1,-4)\), \(A(1,0)\), \(B(-3,0)\).
c) \(W(5,2)\), \(A(6,5)\), \(B(8,29)\).
d) \(W(0,0)\), \(A(1,3)\), \(B(-1,3)\).
14. Mini–dowody i krótkie uzasadnienia
Zapisz jednym zdaniem uzasadnienie (bez rachunków).
a) Dlaczego \(y=a(x-p)^2+q\) ma ekstremum w \(x=p\)?
b) Kiedy parabola nie ma miejsc zerowych, patrząc na \(q\) i znak \(a\)?
c) Jak odczytać przecięcie z \(Oy\) z postaci kanonicznej?
15. Szybkie treningi "Prawda/Fałsz" (bez obliczeń)
a) Jeśli \(y=2(x-3)^2-5\), to oś symetrii to \(x=3\).
b) Jeśli \(y=-(x+4)^2+1\), wierzchołek ma \(y=-1\).
c) Jeśli \(y=\tfrac12(x-1)^2+9\), minimum to \(9\).
d) Jeśli \(y=-3(x-2)^2\), parabola przecina oś \(Ox\) w jednym punkcie.
e) Jeśli \(y=(x-5)^2-9\), odległość wierzchołka od osi \(Ox\) to 9.
16. Sprowadź do postaci kanonicznej i podaj wierzchołek
a) \(y=x^2+4x+1\)
b) \(y=x^2-10x+7\)
c) \(y=2x^2+8x-3\)
d) \(y=3x^2-6x+5\)
e) \(y=-x^2+12x-20\)
f) \(y=-2x^2+4x+9\)
g) \(y=\tfrac12x^2-5x+13\)
h) \(y=4x^2+4x+1\)
i) \(y=-3x^2-12x-11\)