Twierdzenie tangensów – Udowodnienie

Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów dla dowolnego trójkąta \( \triangle ABC \) mówi, że stosunek długości boków trójkąta jest równy stosunkowi tangensów półkątów leżących przy tych bokach. Można je zapisać jako:

\[ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan \left(\frac{A - B}{2}\right)}{\tan \left(\frac{A + B}{2}\right)} \]

Udowodnienie

Twierdzenie tangensów można udowodnić, korzystając z twierdzenia sinusów oraz podstawowych tożsamości trygonometrycznych.

Twierdzenie sinusów

Z twierdzenia sinusów dla dowolnego trójkąta \( \triangle ABC \) wynika, że stosunek długości boków do sinusów przeciwległych kątów jest stały:

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \]

Definiujemy zmienną pomocniczą \( d \):

\[ d = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \]

W związku z tym możemy wyrazić długości boków \( a \) i \( b \) w postaci:

\[ a = d \sin \alpha \quad \text{oraz} \quad b = d \sin \beta \]

Wyprowadzenie wzoru

Aby wyprowadzić wzór na stosunek \( \frac{a - b}{a + b} \), wykorzystujemy powyższe wyrażenia dla \( a \) i \( b \):

\[ \begin{aligned} \frac{a - b}{a + b} &= \frac{d \sin \alpha - d \sin \beta}{d \sin \alpha + d \sin \beta} = \\ \ &= \frac{d ( \sin \alpha - \sin \beta )}{d (\sin \alpha + \sin \beta )} = \\ \ &= \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \alpha + \sin \beta} \\ \end{aligned} \]

Aby uprościć to wyrażenie, korzystamy z tożsamości trygonometrycznych na sumę i różnicę sinusów:

\[ \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right) \]

Wyrażenie dla różnicy sinusów

Dla różnicy sinusów \( \sin \alpha - \sin \beta \), stosujemy odpowiednią wersję tożsamości:

\[ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \]

To wyrażenie mówi nam, że różnica sinusów dwóch kątów może być wyrażona jako iloczyn dwóch czynników:

• \( 2 \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \): sinus połowy różnicy tych kątów,
• \( \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \): kosinus połowy sumy tych kątów.

Wyrażenie dla sumy sinusów

Podobnie, dla sumy sinusów \( \sin \alpha + \sin \beta \), mamy:

\[ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \]

Tutaj suma sinusów dwóch kątów również wyraża się przez iloczyn dwóch czynników:

• \( 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \): sinus połowy sumy tych kątów,
• \( \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \): kosinus połowy różnicy tych kątów.

Zastosowanie tych tożsamości w wyrażeniu

Teraz podstawiamy te wzory do wyrażenia \( \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \alpha + \sin \beta} \):

\[ \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \alpha + \sin \beta} = \frac{2 \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)} \]

Uproszczenie wyrażenia

Zauważmy, że w liczniku i mianowniku mamy wspólne czynniki „2”, które możemy skrócić:

\[ \frac{2 \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)}{2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)} = \frac{\sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)} \]

Korzystając z własności ilorazu, możemy to przekształcić w iloraz tangensów:

\[ \frac{\sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}{\cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)} \cdot \frac{\cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)} = \frac{\tan \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}{\tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)} \]

Wynik

Ostatecznie otrzymujemy upragniony wzór:

\[ \frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)}{\tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)} \]

To zakończenie dowodu twierdzenia tangensów, w którym wykorzystano tożsamości trygonometryczne na sumę i różnicę sinusów oraz przekształcono wynik do postaci ilorazu tangensów półkątów.

Wnioski

Twierdzenie tangensów pozwala na łatwe wyznaczanie stosunków boków trójkąta, w którym znane są kąty. Jest szczególnie przydatne, gdy kąty są wyrażone w tangensach półkątów.

Jest to uzupełnienie twierdzenia sinusów i kosinusów, a jego wyprowadzenie jest oparte na podstawowych tożsamościach trygonometrycznych.

Zastosowania

Twierdzenie tangensów znajduje szerokie zastosowanie w geometrii i trygonometrii, w szczególności w:

• Analizie trójkątów: Ustalanie stosunków boków na podstawie tangensów półkątów.
• Obliczeniach kątów: W sytuacjach, gdy znane są tangensy kątów, twierdzenie to pozwala na szybkie obliczenie stosunków długości boków.
• Nauki przyrodnicze: Stosowane w rozwiązywaniu problemów geometrycznych dotyczących proporcji w układach przestrzennych, np. w fizyce lub geodezji.
• Nawigacji i astronomii: Używane w analizie problemów związanych z pomiarami kątów i odległości w dużych skalach.

Twierdzenie tangensów jest kluczowym narzędziem w matematyce, umożliwiającym efektywne rozwiązanie wielu problemów geometrycznych i trygonometrycznych.