Postać iloczynowa
Definicja funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa to funkcja o postaci:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
gdzie:
- \( a \), \( b \), \( c \) są stałymi liczbami rzeczywistymi,
- \( a \neq 0 \), aby funkcja była kwadratowa.
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej ma postać:
\[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]
gdzie:
- \( a \) to współczynnik kierunkowy funkcji, który jest taki sam jak w postaci ogólnej. Wpływa na kształt paraboli oraz jej orientację,
- \( x_1 \) i \( x_2 \) to pierwiastki funkcji kwadratowej, czyli miejsca zerowe funkcji, w których funkcja przecina oś \( x \).
Wyznaczanie pierwiastków funkcji kwadratowej
Aby zapisać funkcję kwadratową w postaci iloczynowej, musimy znaleźć jej pierwiastki \( x_1 \) i \( x_2 \). Pierwiastki te można obliczyć za pomocą wzoru kwadratowego:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
gdzie:
- \( \Delta = b^2 - 4ac \) to wyróżnik funkcji kwadratowej, zwany także deltą. Wyróżnik ten decyduje o liczbie pierwiastków równania kwadratowego:
- \(\Delta > 0\): Równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
- \(\Delta = 0\): Równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny pierwiastek).
- \(\Delta < 0\): Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych, lecz pierwiastki zespolone.
- \( x_1 \) i \( x_2 \) to pierwiastki równania kwadratowego, czyli wartości \( x \), dla których funkcja przyjmuje wartość zero.
Przykład
Rozważmy funkcję kwadratową:
\[ f(x) = 2x^2 - 4x - 6 \]
Najpierw obliczamy deltę:
\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \]
Teraz obliczamy pierwiastki \( x_1 \) i \( x_2 \): \[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 8}{4} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 8}{4} = -1 \]
Pierwiastki \( x_1 \) i \( x_2 \) to wartości \( x \), dla których funkcja kwadratowa \( f(x) = 2x^2 - 4x - 6 \) przyjmuje wartość zero. Oznacza to, że wykres funkcji przecina oś \( x \) w punktach \( x = 3 \) oraz \( x = -1 \).
Skoro znamy pierwiastki, możemy zapisać funkcję kwadratową w postaci iloczynowej:
\[ f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \]
Podstawiając obliczone pierwiastki i współczynnik \( a \), otrzymujemy:
\[ f(x) = 2(x - 3)(x + 1) \]
W postaci iloczynowej funkcja kwadratowa wyraża się jako iloczyn dwóch czynników liniowych \( (x - x_1) \) i \( (x - x_2) \), gdzie \( x_1 \) i \( x_2 \) są miejscami zerowymi funkcji. W tym przypadku funkcja kwadratowa jest opisana jako iloczyn \( 2 \cdot (x - 3) \cdot (x + 1) \), co daje nam pełny opis funkcji w postaci iloczynowej.
Własności funkcji w postaci iloczynowej
- Pierwiastki: Funkcja kwadratowa w postaci iloczynowej jasno pokazuje miejsca zerowe \( x_1 \) i \( x_2 \), które są punktami, w których wykres funkcji przecina oś \( x \).
- Znak współczynnika \( a \): Współczynnik \( a \) określa kierunek paraboli. Jeśli \( a > 0 \), parabola jest skierowana w górę, co oznacza, że funkcja rośnie poza miejscami zerowymi. Jeśli \( a < 0 \), parabola jest skierowana w dół, co oznacza, że funkcja maleje poza miejscami zerowymi.
Zastosowanie postaci iloczynowej
Postać iloczynowa jest szczególnie przydatna, gdy znamy pierwiastki funkcji kwadratowej. Pozwala szybko:
- Zidentyfikować miejsca zerowe funkcji, co jest pomocne w rysowaniu wykresu funkcji,
- Narysować wykres funkcji kwadratowej, wiedząc, gdzie przecina oś \( x \),
- Zrozumieć, jak funkcja zachowuje się pomiędzy swoimi miejscami zerowymi, co jest przydatne w analizie funkcji i jej zastosowaniach praktycznych.