Równanie prostej w postaci kierunkowej

Równanie prostej w postaci kierunkowej jest jednym ze sposobów reprezentowania funkcji liniowej. Ta postać równania jest użyteczna, gdy chcemy szybko określić nachylenie prostej oraz jej punkt przecięcia z osią \( y \).

Postać kierunkowa równania prostej

Równanie prostej w postaci kierunkowej można zapisać jako:

\[ y = mx + b \]

gdzie:

• \( m \) jest współczynnikiem kierunkowym (nachyleniem) prostej,
• \( b \) jest wyrazem wolnym, który oznacza punkt przecięcia prostej z osią \( y \).

Właściwości postaci kierunkowej

• Współczynnik kierunkowy \( m \): Określa nachylenie prostej. Jeśli \( m \) jest dodatni, prosta rośnie; jeśli ujemny, prosta maleje.
• Wyraz wolny \( b \): Określa, w jakim punkcie prosta przecina oś \( y \).

Przekształcanie równania do postaci kierunkowej

Jeśli mamy równanie prostej w postaci ogólnej:

\[ Ax + By + C = 0 \]

możemy przekształcić je do postaci kierunkowej, wykonując następujące kroki:

1. Rozwiąż równanie względem \( y \):

\[ By = -Ax - C \] \[ y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B} \]

2. Postać kierunkowa jest wtedy:

\[ y = mx + b \]

gdzie \( m = -\frac{A}{B} \) i \( b = -\frac{C}{B} \).

Przykład 1: przekształcanie równania do postaci kierunkowej

Rozważmy równanie prostej w postaci ogólnej:

\[ 2x - 3y + 6 = 0 \]

Aby przekształcić je do postaci kierunkowej:

1. Rozwiąż równanie względem \( y \):

\[ -3y = -2x - 6 \] \[ y = \frac{2}{3}x + 2 \]

2. Ostateczne równanie w postaci kierunkowej to:

\[ y = \frac{2}{3}x + 2 \]

gdzie \( m = \frac{2}{3} \) i \( b = 2 \).

Zastosowanie postaci kierunkowej

• Rysowanie Wykresu: Znając współczynnik kierunkowy \( m \) i wyraz wolny \( b \), łatwo narysować wykres prostej. Wystarczy zaznaczyć punkt przecięcia z osią \( y \) i użyć nachylenia, aby określić drugi punkt na wykresie.
• Analiza: Postać kierunkowa jest przydatna do szybkiej analizy zmian wartości \( y \) w odpowiedzi na zmiany \( x \).

Przykład 2: rysowanie wykresu prostej

Rozważmy równanie:

\[ y = -x + 4 \]

• Punkt przecięcia z osią \( y \): \( (0, 4) \).
• Nachylenie \( m = -1 \): Oznacza to, że dla każdej jednostki zmiany \( x \), wartość \( y \) zmienia się o -1.

Aby narysować wykres:

1. Zaznacz punkt \( (0, 4) \) na osi \( y \).
2. Użyj nachylenia -1, aby znaleźć kolejny punkt. Przykładowo, gdy \( x = 1 \), \( y = 3 \). Zaznacz punkt \( (1, 3) \).
3. Narysuj prostą przechodzącą przez te dwa punkty.

Własności równania prostej w postaci kierunkowej

• Nachylenie: Wartość współczynnika \( m \) wskazuje, jak stroma jest prosta.
• Punkt przecięcia: Wartość \( b \) określa punkt przecięcia prostej z osią \( y \), co pozwala na szybkie ustalenie miejsca, w którym prosta przecina oś \( y \).