Całki niewłaściwe

Całki niewłaściwe to całki, w których przedział całkowania jest nieskończony lub funkcja podcałkowa ma osobliwości w przedziale całkowania, czyli staje się nieskończona w niektórych punktach.

Typy całek niewłaściwych

1. nieskończony przedział całkowania

Rozważmy funkcję \( f(x) \) określoną na przedziale \( [a, \infty) \). Jeśli chcemy obliczyć całkę:

\[ \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]

to definiuje się ją jako granicę:

\[ \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx \]

Jeśli granica istnieje i jest skończona, mówimy, że całka jest zbieżna. W przeciwnym razie jest rozbieżna.

Przykład:

\[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx \]

Całka ta jest zbieżna, a jej wartość to:

\[ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = 1 \]

2. osobliwość funkcji podcałkowej

Całki, w których funkcja podcałkowa ma osobliwość w punkcie \( c \), np. w zerze lub w granicach przedziału, definiuje się jako granicę, zbliżając się do tego punktu.

Rozważmy funkcję \( f(x) \), która ma osobliwość w punkcie \( c \). Wtedy całkę:

\[ \int_a^c f(x) \, dx \]

definiuje się jako granicę:

\[ \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{c-\epsilon} f(x) \, dx \]

Jeśli granica istnieje i jest skończona, mówimy, że całka jest zbieżna.

Przykład:

\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \]

Całka ta jest zbieżna, a jej wartość wynosi:

\[ \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \]

3. osobliwość na obu końcach przedziału

W przypadku całek, w których funkcja ma osobliwości na obu końcach przedziału, trzeba rozważyć dwie granice. Całka jest zbieżna, jeśli obie granice istnieją i są skończone.

Przykład:

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \]

Ta całka również jest zbieżna, a jej wartość wynosi \( \pi \).

Test zbieżności całek niewłaściwych

Aby sprawdzić, czy całka niewłaściwa jest zbieżna, często stosuje się testy porównawcze. Polegają one na porównaniu danej funkcji z inną funkcją, której zbieżność lub rozbieżność jest znana. Jeśli dana funkcja rośnie lub maleje wolniej niż funkcja o znanej zbieżności, można wnioskować o zbieżności całki.

Zastosowanie całek niewłaściwych

Całki niewłaściwe mają szerokie zastosowanie w matematyce, fizyce i inżynierii. Używa się ich m.in. do rozwiązywania równań różniczkowych, opisywania zjawisk fizycznych (np. potencjałów w polu elektromagnetycznym) oraz w statystyce do obliczania rozkładów prawdopodobieństwa.