Funkcja wymierna

Definicja funkcji wymiernej

Funkcja wymierna to funkcja matematyczna, która jest zdefiniowana jako stosunek dwóch wielomianów. Ogólna postać funkcji wymiernej to:

\[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \]

gdzie:

Własności funkcji wymiernej

  1. Dziedzina: Dziedziną funkcji wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste \( x \), dla których mianownik \( Q(x) \) jest różny od zera. Miejsca, w których \( Q(x) = 0 \), są miejscami, gdzie funkcja jest niezdefiniowana.

  2. Asymptoty:

    • Asymptota pionowa: Występuje w miejscach, gdzie mianownik \( Q(x) \) jest równy zeru, pod warunkiem, że licznik \( P(x) \) nie jest również zerem w tych miejscach.
    • Asymptota pozioma: Można ją określić, badając stosunek stopni wielomianów \( P(x) \) i \( Q(x) \):
      • Jeśli stopień \( P(x) \) jest mniejszy niż stopień \( Q(x) \), funkcja ma asymptotę poziomą \( y = 0 \).
      • Jeśli stopień \( P(x) \) jest równy stopniowi \( Q(x) \), asymptotą poziomą jest \( y = \frac{a}{b} \), gdzie \( a \) i \( b \) to współczynniki przy najwyższych potęgach w \( P(x) \) i \( Q(x) \), odpowiednio.
      • Jeśli stopień \( P(x) \) jest większy niż stopień \( Q(x) \), nie ma asymptoty poziomej, ale może wystąpić asymptota ukośna.

  3. Przecięcia z osiami:

    • Przecięcia z osią \( x \): Występują w miejscach, gdzie licznik \( P(x) \) jest równy zeru, przy założeniu, że mianownik \( Q(x) \) nie jest równy zeru w tych miejscach.
    • Przecięcia z osią \( y \): Można je znaleźć, obliczając wartość funkcji dla \( x = 0 \), czyli \( f(0) = \frac{P(0)}{Q(0)} \), pod warunkiem, że \( Q(0) \neq 0 \).

Przykład

Rozważmy funkcję wymierną:

\[ f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 - 4} \]

  1. Dziedzina: Miejsca, gdzie mianownik \( x^2 - 4 \) jest równy zeru, to \( x = 2 \) i \( x = -2 \). Dlatego dziedziną funkcji są liczby rzeczywiste poza \( x = 2 \) i \( x = -2 \).

  2. Asymptoty:

    • Asymptota pionowa: Występuje w \( x = 2 \) i \( x = -2 \).
    • Asymptota pozioma: Ponieważ stopień licznika i mianownika jest taki sam, asymptota pozioma jest \( y = \frac{2}{1} = 2 \).

  3. Przecięcia z osiami:

    • Przecięcia z osią \( x \): Rozwiązujemy \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \), co daje pierwiastki \( x = 1 \) i \( x = \frac{1}{2} \).
    • Przecięcia z osią \( y \): Dla \( x = 0 \), \( f(0) = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4} \).

Zastosowanie funkcji wymiernej

Funkcje wymierne są szeroko stosowane w matematyce, fizyce i inżynierii do modelowania różnych procesów, w tym do analizy dynamiki systemów oraz w optyce i elektronice, gdzie często pojawiają się w formie funkcji transferu.