Podstawienie

Podstawienie to technika używana w całkowaniu, która upraszcza obliczenia poprzez zamianę zmiennych w całce. Celem podstawienia jest przekształcenie złożonej całki w prostszą formę, która jest łatwiejsza do obliczenia.

Definicja podstawienia

Podstawienie polega na wprowadzeniu nowej zmiennej \( u \), która jest funkcją oryginalnej zmiennej \( x \). Jeśli \( u = g(x) \), to podstawienie zmienia całkę w postaci:

\[ \int f(x) \, dx \]

na:

\[ \int f(g^{-1}(u)) \cdot \frac{du}{dx} \, dx \]

co można uprościć do:

\[ \int f(u) \, du \]

gdzie \( \frac{du}{dx} \) to pochodna funkcji \( u \) względem \( x \).

Kroki do wykonania podstawienia

1. Wybór funkcji podstawiającej: Wybierz funkcję \( u = g(x) \), która uprości całkę.

2. Obliczenie pochodnej: Oblicz pochodną \( \frac{du}{dx} \) i wyraż ją jako \( dx \) w zależności od \( du \).

3. Podstawienie zmiennych: Zamień wszystkie wystąpienia \( x \) w funkcji całkowej oraz różniczce \( dx \) na odpowiednie wyrażenia w zmiennej \( u \).

4. Obliczenie całki: Oblicz uproszczoną całkę względem nowej zmiennej \( u \).

5. Powrót do oryginalnej zmiennej: Jeśli wymagane, przekształć wynik całkowania z powrotem do zmiennej \( x \).

Przykłady podstawienia

1. Podstawienie trygonometryczne:

   Rozważmy całkę:

   \[ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx \]

   Wykonujemy podstawienie \( x = \sin(u) \), co daje \( dx = \cos(u) \, du \). Po podstawieniu otrzymujemy:

   \[ \int \frac{\cos(u)}{\sqrt{1 - \sin^2(u)}} \, du = \int \frac{\cos(u)}{\cos(u)} \, du = \int du = u + C \]

   Powracając do zmiennej \( x \), mamy:

   \[ u = \arcsin(x) \quad \text{więc} \quad \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin(x) + C \]

2. Podstawienie z funkcji wykładniczej:

   Rozważmy całkę:

   \[ \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx \]

   Wykonujemy podstawienie \( u = x^2 \), co daje \( du = 2x \, dx \). Po podstawieniu otrzymujemy:

   \[ \int e^u \, du = e^u + C \]

   Powracając do zmiennej \( x \), mamy:

   \[ u = x^2 \quad \text{więc} \quad \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = e^{x^2} + C \]

Wskazówki

• Upewnij się, że wszystkie zmienne zostały poprawnie podstawione, a różniczka \( dx \) została odpowiednio przekształcona.
• Jeśli całka po podstawieniu wciąż jest trudna, sprawdź inne funkcje podstawiające lub zastosuj inne techniki całkowania.
• Niekiedy pomocne może być przekształcenie granic całkowania w przypadku całek określonych.

Podstawienie jest potężnym narzędziem w całkowaniu, które może znacznie uprościć obliczenia i umożliwić rozwiązanie całek, które w przeciwnym razie byłyby trudne do obliczenia.