Zbiory

Definicja zbioru

Zbiór to dobrze określona kolekcja obiektów, które nazywamy elementami tego zbioru. Zbiory mogą zawierać liczby, figury geometryczne, litery, a nawet inne zbiory. Najważniejsze jest, aby istniała możliwość jednoznacznego stwierdzenia, czy dany obiekt należy do zbioru.

Przykłady:

1. Zbiór liczb całkowitych: \( Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\} \)
2. Zbiór samogłosek w alfabecie polskim: \( S = \{a, e, i, o, u, y\} \)
3. Zbiór pusty (nie zawiera żadnych elementów): \( \emptyset \) lub \( \{\} \)

Sposoby opisywania zbiorów

1. Wymienienie elementów zbioru: Podajemy wszystkie elementy zbioru, oddzielając je przecinkami i umieszczając w nawiasach klamrowych.
   Przykład: \( A = \{1, 2, 3, 4\} \)

2. Opisanie właściwości wspólnej dla elementów: Podajemy warunek, który muszą spełniać elementy zbioru.
   Przykład: \( B = \{x \in \mathbb{R} : x > 0\} \) (zbiór liczb rzeczywistych większych od zera).

3. Diagramy Venna: Graficzna reprezentacja zbiorów za pomocą okręgów lub innych figur geometrycznych, gdzie każdy okrąg reprezentuje jeden zbiór.

Elementy i należenie do zbioru

• Jeśli element \( x \) należy do zbioru \( A \), zapisujemy to jako \( x \in A \).
  Przykład: \( 3 \in \{1, 2, 3, 4\} \)
• Jeśli element \( x \) nie należy do zbioru \( A \), zapisujemy to jako \( x \notin A \).
  Przykład: \( 5 \notin \{1, 2, 3, 4\} \)

Operacje na zbiorach

1. Suma zbiorów (\( A \cup B \))
   Zbiór wszystkich elementów, które należą do zbioru \( A \) lub \( B \) (lub obu jednocześnie).
   Przykład:
   \( A = \{1, 2, 3\}, B = \{3, 4, 5\} \)
   \( A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \)

2. Część wspólna zbiorów (\( A \cap B \))
   Zbiór wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru \( A \) i \( B \).
   Przykład:
   \( A = \{1, 2, 3\}, B = \{3, 4, 5\} \)
   \( A \cap B = \{3\} \)

3. Różnica zbiorów (\( A \setminus B \))
   Zbiór elementów, które należą do \( A \), ale nie należą do \( B \).
   Przykład:
   \( A = \{1, 2, 3\}, B = \{3, 4, 5\} \)
   \( A \setminus B = \{1, 2\} \)

4. Dopełnienie zbioru (\( A^c \))
   Zbiór wszystkich elementów, które nie należą do zbioru \( A \), ale należą do uniwersum \( U \) (całej przestrzeni, w której działamy).
   Przykład:
   Jeśli \( U = \{1, 2, 3, 4, 5\} \) i \( A = \{1, 2\} \), to \( A^c = \{3, 4, 5\} \).

Relacje między zbiorami

1. Podzbiór
   Zbiór \( A \) jest podzbiorem zbioru \( B \), jeśli każdy element zbioru \( A \) należy również do zbioru \( B \). Zapisujemy to jako \( A \subseteq B \).
   Przykład:
   \( A = \{1, 2\}, B = \{1, 2, 3\} \), więc \( A \subseteq B \).

2. Zbiory równe
   Dwa zbiory są równe, jeśli zawierają dokładnie te same elementy. Zapisujemy to jako \( A = B \).
   Przykład:
   \( A = \{1, 2, 3\}, B = \{3, 2, 1\} \), więc \( A = B \).

3. Zbiory rozłączne
   Zbiory \( A \) i \( B \) są rozłączne, jeśli ich część wspólna jest pusta (\( A \cap B = \emptyset \)).
   Przykład:
   \( A = \{1, 2\}, B = \{3, 4\} \), więc \( A \cap B = \emptyset \).

Iloczyn kartezjański zbiorów

Iloczyn kartezjański zbiorów \( A \) i \( B \), oznaczany jako \( A \times B \), to zbiór wszystkich uporządkowanych par, gdzie pierwszym elementem pary jest element zbioru \( A \), a drugim elementem pary jest element zbioru \( B \).
Przykład:
\( A = \{1, 2\}, B = \{a, b\} \)
\( A \times B = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)\} \)

Przykładowe zadania

1. Podaj sumę i część wspólną zbiorów:
   \( A = \{2, 4, 6, 8\}, B = \{4, 8, 12\} \).

2. Sprawdź, czy \( C = \{3, 4\} \) jest podzbiorem zbioru \( D = \{1, 2, 3, 4, 5\} \).

3. Znajdź różnicę zbiorów \( E \setminus F \), gdzie \( E = \{a, b, c, d\} \) i \( F = \{c, d, e\} \).

4. Znajdź iloczyn kartezjański zbiorów \( G = \{1, 2\} \) i \( H = \{x, y\} \).