Macierze symetryczne

Definicja macierzy symetrycznej

Macierz symetryczna to macierz kwadratowa, która jest równa swojej transpozycji. Oznacza to, że dla macierzy \(\mathbf{A}\) rzędu \(n \times n\), macierz jest symetryczna, jeśli:

\[ \mathbf{A} = \mathbf{A}^T \]

Innymi słowy, elementy macierzy symetrycznej spełniają warunek:

\[ a_{ij} = a_{ji} \]

gdzie \(a_{ij}\) to element znajdujący się w \(i\)-tym wierszu i \(j\)-tej kolumnie macierzy.

Notacja macierzy symetrycznej

Macierz symetryczna rzędu \(n\) może być zapisana w postaci:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \]

Gdzie \(a_{ij} = a_{ji}\) dla wszystkich \(i\) i \(j\).

Właściwości macierzy symetrycznej

  1. Elementy na głównej przekątnej: Wszystkie elementy znajdujące się na głównej przekątnej macierzy symetrycznej mogą być dowolnymi liczbami. Elementy poza przekątną są lustrzanym odbiciem względem głównej przekątnej.

  2. Transpozycja: Transpozycja macierzy symetrycznej nie zmienia jej postaci:

\[ \mathbf{A}^T = \mathbf{A} \]

  1. Mnożenie: Iloczyn dwóch macierzy symetrycznych niekoniecznie jest macierzą symetryczną. Jednakże, iloczyn dwóch macierzy symetrycznych, gdy są one macierzami diagonalnymi, jest macierzą symetryczną.

  2. Suma: Suma dwóch macierzy symetrycznych jest również macierzą symetryczną:

\[ \mathbf{A} + \mathbf{B} \text{ jest macierzą symetryczną, jeśli } \mathbf{A} \text{ i } \mathbf{B} \text{ są macierzami symetrycznymi} \]

  1. Odwrotność: Macierz symetryczna jest odwracalna, jeśli i tylko jeśli wszystkie jej wartości własne są różne od zera. Odwrotność macierzy symetrycznej jest również macierzą symetryczną.

Przykład

Macierz symetryczna rzędu 3 to:

\[ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 3 & 7 \\ 6 & 7 & 5 \end{pmatrix} \]

Jej transpozycja to:

\[ \mathbf{A}^T = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 3 & 7 \\ 6 & 7 & 5 \end{pmatrix} \]

co pokazuje, że \(\mathbf{A}\) jest macierzą symetryczną, ponieważ \(\mathbf{A} = \mathbf{A}^T\).

Macierze symetryczne są istotne w różnych dziedzinach matematyki i nauk stosowanych, w tym w analizie numerycznej, mechanice i statystyce.