Zadanie

Samochód przejechał pierwszą część trasy ze średnią prędkością 70 km/h. Drugą część trasy, dłuższą o 60 km, pokonał ze średnią prędkością 90 km/h. Jego średnia prędkość na całej trasie była równa 80 km/h. Oblicz długość całej trasy.

Rozwiązanie

Oznaczmy:

• \( x \): długość pierwszej części trasy (w km),
• \( x + 60 \): długość drugiej części trasy.

Czas przejazdu pierwszej części trasy:

\[ t_1 = \frac{x}{70} \]

Czas przejazdu drugiej części trasy:

\[ t_2 = \frac{x + 60}{90} \]

Całkowita długość trasy:

\[ x + (x + 60) = 2x + 60 \]

Całkowity czas przejazdu:

\[ t = \frac{x}{70} + \frac{x + 60}{90} = \frac{90x + 70(x + 60)}{6300} = \frac{90x + 70x + 4200}{6300} = \frac{160x + 4200}{6300} \]

Średnia prędkość na całej trasie:

\[ \frac{2x + 60}{\frac{160x + 4200}{6300}} = 80 \]

Jeśli mam dzielić przez ułamek, to zarówno mogę mnożyć o odwrotność ułamka:

\[ (2x + 60) \cdot \frac{6300}{160x + 4200} = 80 \]

Mnożymy obustronnie przez \((160x + 4200)\):

\[ (2x + 60) \cdot 6300 = 80 \cdot (160x + 4200) \]

Rozwijamy:

\[ 12600x + 378000 = 12800x + 336000 \]

Przenosimy wszystkie \(x\) na jedną stronę a wszystkie nie-\(x\) na drugą stronę:

\[ -200x = -42000 \]

Dzielimy każdą stronę przez \(-200\): \[ x = 210 \] Długość całej trasy:

\[ 2x + 60 = 2 \cdot 210 + 60 = 480 \text{ km} \]

Odpowiedź

Długość całej trasy wynosi \( 480 \text{ km} \).