Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów jest fundamentalnym narzędziem w geometrii trygonometrycznej, które odnosi się do relacji między bokami a kątami w dowolnym trójkącie. Jest szczególnie użyteczne w rozwiązaniu problemów związanych z trójkątami, gdy znamy długości niektórych boków i miary niektórych kątów.

Definicja

Twierdzenie sinusów stwierdza, że w dowolnym trójkącie długości boków są proporcjonalne do długości przeciwległych im kątów. Dokładniej, jeśli mamy trójkąt \( \triangle ABC \) z bokami \( a \), \( b \), i \( c \) oraz odpowiadającymi kątami \( \alpha \), \( \beta \), i \( \gamma \), to:

\[ \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}} \]

Gdzie:

• \( a \) to długość boku przeciwległego kątowi \( \alpha \),
• \( b \) to długość boku przeciwległego kątowi \( \beta \),
• \( c \) to długość boku przeciwległego kątowi \( \gamma \),
• \( \sin{\alpha} \), \( \sin{\beta} \), i \( \sin{\gamma} \) to funkcje sinus dla kątów \( \alpha \), \( \beta \), i \( \gamma \).

Wzór ogólny

Wzór twierdzenia sinusów można zapisać również jako:

\[ \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}} = 2R \]

Gdzie \( R \) jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie. Oznacza to, że stosunek długości boku do sinus odpowiadającego kąta jest równy średnicy okręgu opisanego.

Przykłady

1. Przykład 1:

   W trójkącie \( \triangle ABC \) mamy boki \( a = 7 \), \( b = 9 \), oraz kąt \( \alpha = 30^\circ \), a kąt \( \beta = 45^\circ \). Aby znaleźć długość boku \( c \), możemy użyć twierdzenia sinusów. Najpierw obliczmy sinusy kątów: \[ \sin{\alpha} = \sin 30^\circ = 0.5 \] \[ \sin{\beta} = \sin 45^\circ \approx 0.707 \]

   Następnie obliczmy stosunek \( \frac{a}{\sin{\alpha}} \): \[ \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{7}{0.5} = 14 \]

   Teraz obliczmy \( c \) używając \( \frac{b}{\sin{\beta}} \): \[ \frac{b}{\sin{\beta}} = 14 \] \[ c = 14 \cdot \sin{\gamma} \]

   Kąt \( \gamma \) można obliczyć z równości sumy kątów w trójkącie: \[ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \] \[ \sin{\gamma} \approx \sin 105^\circ \approx 0.965 \] \[ c \approx 14 \cdot 0.965 \approx 13.5 \]

2. Przykład 2:

   W trójkącie, gdzie mamy boki \( a = 10 \), \( b = 12 \), i kąt \( \alpha = 60^\circ \), chcemy znaleźć kąt \( \beta \). Używamy wzoru:

   \[ \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} \]

   Obliczając:

   \[ \frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sin{\beta}} \] \[ \frac{10}{0.866} = \frac{12}{\sin{\beta}} \] \[ \sin{\beta} = \frac{12 \cdot 0.866}{10} \approx 1.04 \]

   Ponieważ sinus nie może być większy niż 1, musimy sprawdzić, czy nie popełniono błędu. Jeśli tak, oznacza to, że dane są niepoprawne lub trójkąt nie istnieje.

Zastosowania

• Rozwiązywanie trójkątów: Obliczanie brakujących kątów i boków w trójkącie.
• Inżynieria i architektura: Obliczanie długości i kątów w konstrukcjach.
• Nauki przyrodnicze: Analizowanie układów, gdzie stosunki kątów i odległości są kluczowe.

Twierdzenie sinusów jest ważnym narzędziem w matematyce i naukach przyrodniczych, umożliwiającym rozwiązanie wielu problemów związanych z trójkątami.