Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Dodawanie wielomianów

Dodawanie wielomianów polega na dodaniu odpowiadających sobie współczynników przy tych samych potęgach zmiennej \(x\). Proces ten polega na:

Grupowaniu: Zgrupuj wyrazy wielomianów, które mają tę samą potęgę zmiennej \(x\).
Dodawaniu: Dodaj współczynniki odpowiadające sobie potęgom.

Przykład

Rozważmy dwa wielomiany:

\[ P(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 4 \] \[ Q(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 5 \]

Dodawanie tych wielomianów polega na dodaniu współczynników przy tych samych potęgach zmiennej \(x\):

\[ P(x) + Q(x) = (3x^3 - 2x^2 + x - 4) + (x^3 + 4x^2 - 3x + 5) \]

\[ P(x) + Q(x) = (3x^3 + x^3) + (-2x^2 + 4x^2) + (x - 3x) + (-4 + 5) \]

\[ P(x) + Q(x) = 4x^3 + 2x^2 - 2x + 1 \]

Odejmowanie wielomianów

Odejmowanie wielomianów polega na odjęciu odpowiadających sobie współczynników przy tych samych potęgach zmiennej \(x\). Proces ten polega na:

Grupowaniu: Zgrupuj wyrazy wielomianów, które mają tę samą potęgę zmiennej \(x\).
Odejmowaniu: Odejmij współczynniki odpowiadające sobie potęgom.

Przykład

Rozważmy dwa wielomiany:

\[ P(x) = 5x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \] \[ Q(x) = 2x^3 + 6x^2 - x + 4 \]

Odejmowanie tych wielomianów polega na odjęciu współczynników przy tych samych potęgach zmiennej \(x\):

\[ P(x) - Q(x) = (5x^3 - 3x^2 + 2x - 1) - (2x^3 + 6x^2 - x + 4) \]

\[ P(x) - Q(x) = (5x^3 - 2x^3) + (-3x^2 - 6x^2) + (2x + x) + (-1 - 4) \]

\[ P(x) - Q(x) = 3x^3 - 9x^2 + 3x - 5 \]

Właściwości

Komutatywność: Dodawanie i odejmowanie wielomianów jest przemienne, co oznacza, że kolejność operacji nie wpływa na wynik.
Asocjacyjność: Dodawanie i odejmowanie wielomianów jest łączne, co oznacza, że można grupować wyrazy w dowolny sposób.
Rozdzielność: Można wyodrębniać i sumować lub odejmować wielomiany oddzielnie.

Zastosowanie

Dodawanie i odejmowanie wielomianów są podstawowymi operacjami w algebrze, używanymi do rozwiązywania równań, analizowania funkcji i modelowania matematycznego w różnych dziedzinach, takich jak fizyka, inżynieria i ekonomia.