Płaszczyzny i proste w przestrzeni

Podstawą rozważań w stereometrii są aksjomaty, które określają własności pojęć pierwotnych: płaszczyzn, punktów i prostych.

Aksjomaty

\[ A1: \exists \pi \subseteq \mathbb{R}^3 \quad \text{i} \quad \forall \pi \ \exists P \in \mathbb{R}^3 \quad P \notin \pi \] czyli w przestrzeni istnieje co najmniej jedna płaszczyzna. Dla każdej płaszczyzny istnieje co najmniej jeden punkt, który do niej nie należy.

\[ A2: \forall P_1, P_2, P_3 \in \mathbb{R}^3 \quad (P_1, P_2, P_3 \ \text{nienależące do jednej prostej}) \quad \exists ! \pi \subseteq \mathbb{R}^3 \quad P_1, P_2, P_3 \in \pi \] czyli przez trzy punkty nienależące do jednej prostej przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.

\[ A3: \forall \pi_1, \pi_2 \subseteq \mathbb{R}^3 \quad (\pi_1 \neq \pi_2 \ \text{oraz} \ \pi_1 \cap \pi_2 = P \in \mathbb{R}^3) \quad \Rightarrow \quad \exists k \subseteq \mathbb{R}^3 \quad k \subseteq \pi_1 \cap \pi_2 \] czyli jeśli dwie różne płaszczyzny mają punkt wspólny, to mają także wspólną prostą.

\[ A4: \forall P_1, P_2 \in \mathbb{R}^3 \quad P_1 \neq P_2 \quad \text{jeśli} \quad P_1, P_2 \in \pi \quad \text{to} \quad \forall P \in k \quad P \in \pi \ (\text{gdzie} \ k \ \text{jest prostą zawierającą punkty} \ P_1 \ \text{i} \ P_2) \] czyli jeśli dwa różne punkty prostej leżą na płaszczyźnie, to cała prosta leży na tej płaszczyźnie.

Oznaczenia

Płaszczyzny oznaczamy symbolami \( \pi \), \( \pi_1 \), \( \pi_2 \), itd. Jeśli punkty \( X \), \( Y \), \( Z \) nie leżą na jednej prostej, to płaszczyzna przechodząca przez te punkty jest oznaczana jako \( \pi_{XYZ} \).

Wzajemne położenie płaszczyzn

  1. Płaszczyzny nie mają punktów wspólnych, czyli \( \pi_1 \cap \pi_2 = \emptyset \), wtedy i tylko wtedy, gdy \( \pi_1 \parallel \pi_2 \).
  2. Płaszczyzny mają punkt wspólny – zgodnie z aksjomatem A3 – czyli \( \pi_1 \cap \pi_2 = k \), gdzie \( k \) to prosta.

Dwie płaszczyzny mające wspólną prostą nazywamy płaszczyznami przecinającymi się, a ich wspólna prosta to krawędź przecięcia.

Definicja 1: Płaszczyznami równoległymi nazywamy dwie płaszczyzny, których częścią wspólną jest zbiór pusty lub cała płaszczyzna.

Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny

  1. Prosta i płaszczyzna nie mają punktów wspólnych, czyli \( k \cap \pi = \emptyset \).
  2. Prosta i płaszczyzna mają jeden punkt wspólny, mówimy wtedy, że prosta przebija płaszczyznę: \( k \cap \pi = \{ A \} \).
  3. Prosta ma dwa punkty wspólne z płaszczyzną – wszystkie punkty prostej są wspólne z płaszczyzną, co oznacza, że prosta leży na płaszczyźnie: \( k \subset \pi \).

Definicja 2: Prosta jest równoległa do płaszczyzny \( \pi \), jeśli nie ma punktów wspólnych z płaszczyzną \( \pi \) lub leży na płaszczyźnie \( \pi \).

Wzajemne położenie dwóch prostych w przestrzeni

  1. Jeśli nie istnieje płaszczyzna zawierająca dwie dane proste, nazywamy je prostymi skośnymi.
  2. Jeśli istnieje płaszczyzna zawierająca dwie dane proste, możliwe są trzy przypadki:
    • Proste przecinają się, mając tylko jeden punkt wspólny.
    • Proste są równoległe i nie mają punktów wspólnych.
    • Proste są równoległe i pokrywają się.

Twierdzenia

Twierdzenie 1: Jeśli proste \( k \) i \( l \) są równoległe, to prosta \( k \) jest równoległa do każdej płaszczyzny zawierającej prostą \( l \).

Twierdzenie 2: Dwie przecinające się proste wyznaczają tylko jedną płaszczyznę.

Twierdzenie 3: Prosta i punkt nieleżący na tej prostej wyznaczają tylko jedną płaszczyznę.

Twierdzenie 4: Przez dowolny punkt przestrzeni można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.

Twierdzenie 5: Jeśli w przestrzeni dane są trzy proste i dwie z tych prostych są równoległe do trzeciej prostej, to są one również równoległe do siebie.

Twierdzenie 6: Jeśli dwie równoległe krawędzie płaszczyzny przecina trzecia płaszczyzna, to krawędzie przecięcia są równoległe.

Zadania

  1. Dane są proste \( k \), \( l \), \( m \). Ustal, jak mogą być położone względem siebie proste \( k \) i \( m \), jeśli:
    a) proste \( k \) i \( l \) są skośne oraz \( l \parallel m \)
    b) proste \( k \), \( l \), \( m \) nie leżą w jednej płaszczyźnie, ale prosta \( l \) ma jeden punkt wspólny z prostą \( k \) i jeden punkt wspólny z prostą \( m \).
    Odpowiedź:
    a) Proste \( k \) i \( m \) są skośne lub przecinają się.
    b) Proste \( k \) i \( m \) są skośne.

  2. Punkty \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) nie leżą w jednej płaszczyźnie. Wiadomo, że \( |AB| = |BC| \). Punkty \( P \), \( Q \), \( R \) są odpowiednio środkami odcinków \( AD \), \( BD \), \( CD \). Wykaż, że:
    a) trójkąt \( PQR \) jest równoramienny,
    b) płaszczyzna \( PQR \) jest równoległa do płaszczyzny \( ABC \).

  3. W sześcianie \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), punkt \( P \) jest środkiem krawędzi \( B_1C_1 \), a punkt \( Q \) – środkiem krawędzi \( BB_1 \). Wykaż, że czworokąt \( AQPD_1 \) jest trapezem równoramiennym.
    Wskazówka: Udowodnij, że \( PQ \parallel BC_1 \) oraz \( BC_1 \parallel AD_1 \). Następnie wykaż, że \( |D_1P| = |AQ| \).