Wykres funkcji odwrotnej

Definicja funkcji

Funkcja odwrotna o postaci:

\[ f(x) = \frac{a}{x} \]

gdzie \( a \) jest stałą liczbą rzeczywistą, opisuje relację odwrotnościową między zmiennymi \( x \) i \( f(x) \). Funkcja ta jest przykładem funkcji wymiernej.

Własności funkcji

1. Dziedzina: Dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem \( x = 0 \). Funkcja nie jest zdefiniowana dla \( x = 0 \), ponieważ dzielenie przez zero jest niedozwolone.

2. Asymptoty:

   • Asymptota pionowa: Funkcja ma asymptotę pionową w \( x = 0 \). W miarę jak \( x \) zbliża się do zera, wartość funkcji rośnie do nieskończoności (dla \( a > 0 \)) lub maleje do minus nieskończoności (dla \( a < 0 \)).
   • Asymptota pozioma: Funkcja ma asymptotę poziomą w \( y = 0 \). W miarę jak \( x \) rośnie w nieskończoność lub zmierza do minus nieskończoności, wartość funkcji zbliża się do zera.

3. Symetria:

   • Jeśli \( a > 0 \), wykres funkcji znajduje się w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych.
   • Jeśli \( a < 0 \), wykres funkcji znajduje się w drugiej i czwartej ćwiartce układu współrzędnych.

4. Wykres funkcji: Wykres funkcji \( f(x) = \frac{a}{x} \) to hiperbola. Wykres jest symetryczny względem punktu \( (0,0) \) w przypadku, gdy \( a > 0 \) i wzdłuż osi \( x \) oraz osi \( y \) w przypadku, gdy \( a < 0 \).

Przykład

Rozważmy funkcję:

\[ f(x) = \frac{4}{x} \]

1. Dziedzina: Dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem \( x = 0 \).

2. Asymptoty:

   • Asymptota pionowa: Występuje w \( x = 0 \).
   • Asymptota pozioma: Występuje w \( y = 0 \).

3. Wykres: Wykres funkcji \( f(x) = \frac{4}{x} \) to hiperbola, która leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Funkcja zbliża się do osi \( x \) i osi \( y \), ale ich nie przecina.

Zastosowanie funkcji odwrotnej

Funkcje odwrotne są używane w różnych dziedzinach matematyki i nauk ścisłych, w tym w fizyce (np. prawo odwrotności proporcjonalności) i inżynierii (np. analiza przepływu cieczy).