Twierdzenie sinusów - Udowodnienie

Twierdzenie sinusów jest ważnym narzędziem w geometrii, szczególnie przy rozwiązywaniu problemów dotyczących trójkątów. Mówi ono, że w każdym trójkącie stosunek długości boku do sinusa kąta naprzeciwko tego boku jest stały. Udowodnimy to twierdzenie krok po kroku.

Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów mówi, że w każdym trójkącie:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Gdzie:

• \(a\), \(b\), \(c\) to długości boków trójkąta,
• \(A\), \(B\), \(C\) to kąty naprzeciwko tych boków.

Udowodnienie

1. Wprowadzenie do zagadnienia

   Rozpoczniemy od trójkąta \(ABC\), gdzie mamy boki \(a\), \(b\), i \(c\) oraz odpowiadające im kąty \(A\), \(B\), i \(C\). Naszym celem jest pokazanie, że stosunek długości boku do sinusa kąta naprzeciwko tego boku jest taki sam dla wszystkich trzech boków.

2. Rysunek pomocniczy

   Narysuj trójkąt \(ABC\) na kartce papieru. Oznacz boki \(a\), \(b\), i \(c\) oraz kąty \(A\), \(B\), i \(C\). To pomoże zobaczyć, jak kąty i boki są powiązane.

3. Oblicz pole trójkąta na dwa sposoby

   Możemy obliczyć pole trójkąta na dwa sposoby, używając różnych wzorów:

   • Metoda 1:

     Używając boku \(a\) i kąta \(A\), pole trójkąta jest dane wzorem: \[ P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \]

     Gdzie \(b\) jest bokiem, który tworzy kąt \(C\) z bokiem \(a\).

   • Metoda 2:

     Używając boku \(b\) i kąta \(B\), pole trójkąta jest dane wzorem: \[ P = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A \]

     Gdzie \(c\) jest bokiem, który tworzy kąt \(A\) z bokiem \(b\).

4. Równanie dwóch wyrażeń

   Ponieważ pole trójkąta jest to samo w obu metodach, możemy zapisać:

   \[ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A \]

   Skracając \(\frac{1}{2}\) z obu stron, otrzymujemy:

   \[ a \cdot b \cdot \sin C = b \cdot c \cdot \sin A \]

   Teraz podzielmy obie strony przez \( b \):

   \[ a \cdot \sin C = c \cdot \sin A \]

   Teraz podzielmy obie strony przez \( \sin A \cdot \sin C \):

   \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]

   Analogicznie, możemy powtórzyć tę procedurę dla innych boków i kątów, uzyskując:

   \[ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

   Ostatecznie, otrzymujemy:

   \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

5. Podsumowanie

   Udowodniliśmy, że stosunek długości każdego boku trójkąta do sinusa kąta naprzeciwko tego boku jest stały i równy dla wszystkich trzech boków i kątów trójkąta. To jest właśnie twierdzenie sinusów!

Wnioski

Twierdzenie sinusów jest bardzo przydatne w geometrii, szczególnie przy rozwiązywaniu trójkątów, gdzie znane są różne kąty i boki. Pomaga to w znajdowaniu brakujących informacji i rozwiązywaniu problemów geometrycznych.

Pamiętaj, że ten wzór działa w każdym trójkącie, niezależnie od tego, czy jest prostokątny, czy nie. To narzędzie jest bardzo wszechstronne i pomocne w różnych kontekstach matematycznych!