Nierówności kwadratowe

Definicja nierówności kwadratowej

Nierówność kwadratowa to wyrażenie, które ma postać:

\[ ax^2 + bx + c \geq 0 \] lub \[ ax^2 + bx + c \leq 0 \] gdzie:

• \( a \), \( b \), \( c \) to współczynniki liczbowe,
• \( a \neq 0 \).

Nierówności kwadratowe mogą mieć również formy ostrzejsze:

\[ ax^2 + bx + c > 0 \] lub \[ ax^2 + bx + c < 0 \]

Rozwiązywanie nierówności kwadratowych

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, stosujemy następujące kroki:

1. Obliczenie delty

Obliczamy wyróżnik funkcji kwadratowej, czyli deltę:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

W zależności od wartości delty, rozważamy trzy przypadki:

• \( \Delta > 0 \): Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste \( x_1 \) i \( x_2 \),
• \( \Delta = 0 \): Równanie kwadratowe ma jeden podwójny pierwiastek \( x_1 = x_2 \),
• \( \Delta < 0 \): Równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

2. Wyznaczanie pierwiastków (miejsc zerowych)

Pierwiastki równania kwadratowego obliczamy za pomocą wzoru kwadratowego:

\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

Te pierwiastki dzielą oś \( x \) na przedziały, które musimy zbadać, aby określić, na których przedziałach nierówność jest spełniona.

3. Znak funkcji kwadratowej

W zależności od znaku współczynnika \( a \) i położenia pierwiastków, funkcja kwadratowa przyjmuje różne znaki na przedziałach wyznaczonych przez \( x_1 \) i \( x_2 \).

Dla \( a > 0 \) (parabola skierowana w górę):

• Funkcja jest dodatnia na zewnątrz przedziału \( (x_1, x_2) \),
• Funkcja jest ujemna wewnątrz przedziału \( (x_1, x_2) \).

Dla \( a < 0 \) (parabola skierowana w dół):

• Funkcja jest ujemna na zewnątrz przedziału \( (x_1, x_2) \),
• Funkcja jest dodatnia wewnątrz przedziału \( (x_1, x_2) \).

4. Zastosowanie pierwiastków i analizy znaków

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, należy:

• Zidentyfikować przedziały, na których funkcja kwadratowa jest większa lub mniejsza od zera, w zależności od rodzaju nierówności,
• Uwzględnić, czy nierówność jest ostra (>, <) czy nieostra (\(\geq\), \(\leq\)), co wpływa na to, czy pierwiastki \( x_1 \) i \( x_2 \) wchodzą w zakres rozwiązania.

5. Przykład

Rozważmy nierówność:

\[ 2x^2 - 4x - 6 \geq 0 \]

1. Obliczamy deltę:

\[ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \]

2. Obliczamy pierwiastki:

\[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = -1 \]

3. Funkcja kwadratowa przyjmuje wartości ujemne na przedziale \( (-1, 3) \) i dodatnie poza tym przedziałem.

4. Rozwiązanie nierówności:

\[ (-\infty, -1] \cup [3, \infty) \]

6. Zastosowanie nierówności kwadratowych

Nierówności kwadratowe są powszechnie stosowane w analizie matematycznej, a także w problemach geometrycznych oraz w fizyce, gdzie mogą opisywać zjawiska takie jak maksymalne lub minimalne wartości funkcji.