Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to przydatne narzędzia upraszczające wyrażenia algebraiczne. Poniżej przedstawiono wszystkie podstawowe wzory wraz z dowodami krok po kroku.

1. Kwadrat sumy: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Wyprowadzenie (dowód):

Rozpiszmy \((a + b)^2\) jako iloczyn dwóch takich samych składników: \[ (a + b)^2 = (a + b)(a + b) \] Zastosujmy rozdzielność mnożenia względem dodawania: \[ (a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b \] Skróćmy i uporządkujmy wyrażenie: \[ a \cdot a = a^2, \quad b \cdot b = b^2, \quad a \cdot b + b \cdot a = 2ab \] Wynik: \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

2. Kwadrat różnicy: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

Wyprowadzenie (dowód):

Rozpiszmy \((a - b)^2\) jako iloczyn dwóch takich samych składników: \[ (a - b)^2 = (a - b)(a - b) \] Zastosujmy rozdzielność mnożenia względem odejmowania: \[ (a - b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b \] Skróćmy i uporządkujmy wyrażenie: \[ a \cdot a = a^2, \quad b \cdot b = b^2, \quad -a \cdot b - b \cdot a = -2ab \] Wynik: \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \]

3. Różnica kwadratów: \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

Wyprowadzenie (dowód):

Rozpiszmy iloczyn \((a - b)(a + b)\): \[ (a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b \] Skróćmy i uporządkujmy wyrażenie: \[ a \cdot a = a^2, \quad b \cdot b = b^2, \quad a \cdot b - b \cdot a = 0 \] Wynik: \[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \]

4. Sześcian sumy: \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

Wyprowadzenie (dowód):

Rozpiszmy \((a + b)^3\) jako iloczyn \((a + b)(a + b)(a + b)\). Najpierw obliczmy \((a + b)^2\): \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] Pomnóżmy to wyrażenie przez \((a + b)\): \[ (a + b)^3 = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) \] Zastosujmy rozdzielność mnożenia: \[ (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot b + 2ab \cdot a + 2ab \cdot b + b^2 \cdot a + b^2 \cdot b \] Uporządkujmy i połączmy podobne składniki: \[ a^2 \cdot a = a^3, \quad a^2 \cdot b = a^2b, \quad 2ab \cdot a = 2a^2b, \quad 2ab \cdot b = 2ab^2, \quad b^2 \cdot a = ab^2, \quad b^2 \cdot b = b^3 \] Dodajmy podobne wyrazy: \[ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \] Wynik: \[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]

5. Sześcian różnicy: \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

Wyprowadzenie (dowód):

Rozpiszmy \((a - b)^3\) jako iloczyn \((a - b)(a - b)(a - b)\). Najpierw obliczmy \((a - b)^2\): \[ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \] Pomnóżmy to wyrażenie przez \((a - b)\): \[ (a - b)^3 = (a^2 - 2ab + b^2)(a - b) \] Zastosujmy rozdzielność mnożenia: \[ (a^2 - 2ab + b^2)(a - b) = a^2 \cdot a - a^2 \cdot b - 2ab \cdot a + 2ab \cdot b + b^2 \cdot a - b^2 \cdot b \] Uporządkujmy i połączmy podobne składniki: \[ a^2 \cdot a = a^3, \quad -a^2 \cdot b = -a^2b, \quad -2ab \cdot a = -2a^2b, \quad 2ab \cdot b = 2ab^2, \quad b^2 \cdot a = ab^2, \quad -b^2 \cdot b = -b^3 \] Dodajmy podobne wyrazy: \[ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \] Wynik: \[ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \]

6. Suma sześcianów: \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

Wyprowadzenie (dowód):

Rozpiszmy iloczyn \((a + b)(a^2 - ab + b^2)\): \[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2 \] Skróćmy i uporządkujmy wyrażenie: \[ a \cdot a^2 = a^3, \quad a \cdot b^2 = ab^2, \quad b \cdot a^2 = a^2b, \quad b \cdot b^2 = b^3, \quad -a \cdot ab - b \cdot ab = -ab(a + b) \] Wynik: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

7. Różnica sześcianów: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Wyprowadzenie (dowód):

Rozpiszmy iloczyn \((a - b)(a^2 + ab + b^2)\): \[ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 \] Skróćmy i uporządkujmy wyrażenie: \[ a \cdot a^2 = a^3, \quad a \cdot b^2 = ab^2, \quad -b \cdot a^2 = -a^2b, \quad -b \cdot b^2 = -b^3, \quad a \cdot ab - b \cdot ab = 0 \] Wynik: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]

Podsumowanie

Wzory skróconego mnożenia są niezwykle pomocne w wielu obliczeniach algebraicznych i pozwalają szybko upraszczać lub przekształcać wyrażenia. Kluczowe jest ich zrozumienie i umiejętność stosowania w praktyce.