Równania parametryczne

Równania parametryczne to układy równań, w których zmienne są wyrażone za pomocą jednego lub więcej parametrów. Pozwalają one na bardziej ogólne opisywanie krzywych, powierzchni, czy innych obiektów geometrycznych poprzez określenie zmiennych w zależności od parametrów.

Definicja

Równania parametryczne mają postać:

\[ \begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases} \]

gdzie \( t \) jest parametrem, a \( f(t) \) i \( g(t) \) są funkcjami określającymi współrzędne punktów na wykresie. Parametr \( t \) może przyjmować wartości z określonego przedziału, co określa zakres krzywej.

Przykład 1: Okrąg

Równania parametryczne dla okręgu o promieniu \( r \) i środku w punkcie \( (0, 0) \) mają postać:

\[ \begin{cases} x(t) = r \cos(t) \\ y(t) = r \sin(t) \end{cases} \]

gdzie \( t \) jest parametrem określającym kąt w radianach, a \( r \) jest promieniem okręgu.

Przykład 2: Elipsa

Równania parametryczne dla elipsy o półosiach \( a \) i \( b \) mają postać:

\[ \begin{cases} x(t) = a \cos(t) \\ y(t) = b \sin(t) \end{cases} \]

Tutaj \( t \) również reprezentuje kąt w radianach, ale \( a \) i \( b \) są długościami półosi elipsy.

Przykład 3: Prosta

Prosta o równaniu \( y = mx + b \) może być opisana parametrycznie w następujący sposób:

\[ \begin{cases} x(t) = t \\ y(t) = mt + b \end{cases} \]

gdzie \( t \) jest parametrem, a \( m \) i \( b \) są odpowiednio współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym prostej.

Zalety równań parametrycznych

• Umożliwiają opisanie skomplikowanych krzywych i powierzchni, które trudno opisać w postaci równań jawnych.
• Pozwalają na łatwe określenie punktów na krzywej poprzez zmianę wartości parametru.
• Są powszechnie stosowane w geometrii analitycznej, grafice komputerowej oraz w modelowaniu ruchu w fizyce.

Zastosowania

Równania parametryczne mają szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak:

• Geometria analityczna: Opisywanie krzywych, takich jak okręgi, elipsy, hiperbole.
• Fizyka: Modelowanie trajektorii obiektów, takich jak ruch po torach zakrzywionych.
• Grafika komputerowa: Rysowanie krzywych oraz powierzchni, jak np. splajny Béziera.