Miejsce zerowe

Miejsce zerowe funkcji liniowej to punkt, w którym wykres funkcji przecina oś \( x \), czyli punkt, w którym wartość funkcji jest równa zero. Dla funkcji liniowej w postaci ogólnej:

\[ f(x) = ax + b \]

miejsce zerowe możemy znaleźć, rozwiązując równanie \( f(x) = 0 \).

Jak znaleźć miejsce zerowe?

Aby znaleźć miejsce zerowe funkcji liniowej, wystarczy rozwiązać równanie \( ax + b = 0 \). Postępujemy w następujący sposób:

1. Przenieś wyraz wolny \( b \) na drugą stronę równania:

\[ ax = -b \]

2. Podziel obie strony równania przez \( a \), aby znaleźć \( x \):

\[ x = -\frac{b}{a} \]

Ostatecznie, miejsce zerowe funkcji liniowej to \( x = -\frac{b}{a} \).

Przykład obliczania miejsca zerowego

Rozważmy funkcję liniową \( f(x) = 3x - 6 \). Aby znaleźć miejsce zerowe tej funkcji, rozwiązujemy równanie:

\[ 3x - 6 = 0 \]

1. Dodaj \( 6 \) do obu stron równania:

\[ 3x = 6 \]

2. Podziel przez \( 3 \):

\[ x = \frac{6}{3} = 2 \]

Zatem miejsce zerowe funkcji to \( x = 2 \).

Interpretacja geometryczna

Miejsce zerowe to punkt, w którym wykres funkcji przecina oś \( x \). W przypadku funkcji \( f(x) = 3x - 6 \), miejsce zerowe wynosi \( x = 2 \), co oznacza, że wykres przecina oś \( x \) w punkcie \( (2, 0) \).

Zależność od współczynników

Miejsce zerowe zależy od współczynników \( a \) i \( b \) w funkcji \( f(x) = ax + b \):

• Jeżeli \( b = 0 \), miejsce zerowe wynosi \( x = 0 \), a wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych.
• Jeżeli \( a = 0 \), funkcja nie ma miejsca zerowego, ponieważ jest linią poziomą i nie przecina osi \( x \).

Przykład funkcji z miejscem zerowym

Rozważmy funkcję \( f(x) = 2x + 4 \):

1. Aby znaleźć miejsce zerowe, rozwiązujemy równanie:

\[ 2x + 4 = 0 \]

2. Przenieś \( 4 \) na drugą stronę równania:

\[ 2x = -4 \]

3. Podziel przez \( 2 \):

\[ x = -\frac{4}{2} = -2 \]

Zatem miejsce zerowe funkcji to \( x = -2 \).

Zastosowanie miejsca zerowego

Znajomość miejsca zerowego funkcji jest szczególnie przydatna w różnych dziedzinach, takich jak:

• Ekonomia: Miejsce zerowe może odpowiadać momentowi, w którym koszty produkcji pokrywają się z przychodami.
• Fizyka: W ruchu prostoliniowym miejsce zerowe może wskazywać punkt zmiany kierunku ruchu.

Wykres funkcji liniowej z miejscem zerowym

Aby narysować wykres funkcji liniowej i zobaczyć, gdzie znajduje się jej miejsce zerowe, możemy wybrać kilka punktów, np.:

Dla funkcji \( f(x) = 2x + 4 \):

• Dla \( x = 0 \): \( f(0) = 2 \cdot 0 + 4 = 4 \)
• Dla \( x = -2 \): \( f(-2) = 2 \cdot (-2) + 4 = 0 \)

Punkty \( (0, 4) \) i \( (-2, 0) \) leżą na wykresie funkcji, a miejsce zerowe to punkt \( (-2, 0) \).